De $\textit{The Higher Infinite}$ por Kanamori, en su prueba (página 39 - 41) que $\kappa$ es débilmente compacto si y sólo si $\kappa$ satisface la Extensión de la Propiedad, la prueba hace algo que yo no estoy completamente seguro de que es necesario:
La parte pertinente de esta prueba es el siguiente:
Deje $\Sigma$ $\kappa$ válido conjunto de $L_{\kappa,\kappa}$ frases. $R_1$ es el definibles satisfacción de relación para establecer modelos de $V_\kappa$. $R_2$ es otra relación (pero que no es relevante en este punto de la prueba). Luego, él se las arregla para demostrar que no es un conjunto transitivo $X$ correctamente contengan $V_\kappa$ tal que
$\langle V_\kappa, \in, R_1, R_2 \rangle \prec \langle X, \in, S_1, S_2 \rangle$
$\langle X, \in, S_1, S_2) \models \Sigma \text{ has a model }$
Creo que la prueba debe ser terminado en este punto: Vamos a $\mathcal{M}$ $X$ ser un modelo de este tipo. Por el carácter absoluto de la satisfacción de la relación $S_1$, $\mathcal{M}$ es un modelo de $\Sigma$$V$. Esto debe concluir la prueba.
Sin embargo, Kanamori continúa. Desde $\kappa$ es inaccesible, $V_\kappa \models ZFC$. Por elementarily, $X \models ZFC$. El acceso es absoluta para un modelo transitivo de $ZFC$, lo $X \models \kappa$ es inaccesible. A continuación, se aplica la Lowenheim Teorema de Skolem en $X$ $L_{\lambda, \lambda}$ para inaccesible cardenal $\lambda$ a demostrar que (al $\lambda = \kappa$)
$\langle X, \in, S_1, S_2 \rangle \models \Sigma$ tiene un modelo de $\mathcal{M}$ dominio $\subseteq \kappa$
A continuación, se aplica el carácter absoluto de la satisfacción de la relación de $S_1$, la afirmación de que se $\mathcal{M}$ es realmente un modelo de $\Sigma$.
Mi pregunta es: ¿por qué se han de producir un modelo en $X$ $\Sigma$ con dominio en un subconjunto de a $\kappa$ a aplicar el valor absoluto del argumento de la satisfacción de la relación. No sería suficiente para producir cualquier modelo en $X$. Gracias por la aclaración
