Límite en el número de p-grupos para exponente fijo

Question

Es bien conocido que para cada número primo $p$ hay exactamente dos grupos de orden $p^2$, cinco de orden $p^3$, y quince de la orden de $p^4$ (al menos al $p>3$).

Sé que la clasificación de $p$-grupos se vuelve mucho más difícil para los mayores exponentes. Pero me pregunto si $p$-grupos con mayores dimensiones son todavía lo suficientemente estructurada que iban al menos en teoría, permitir una clasificación.

En particular: Está ahí, para cada natural $n$, una de las principales $p_0(n)$ y un número de $m(n)$ tal que para cada a $p \ge p_0(n)$ el número de grupos de orden $p^n$ es igual a $m(n)$?

(Por ejemplo, $m(2)=2,m(3)=5,m(4)=15$ $p_0(2)=p_0(3)=2$ $p_0(4)=5$.)

Answer 1

La respuesta es no. Para $n \ge 5$ el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $p^n$ aumenta con la $p$.

El Higman PORC conjetura (polinomio de residuos de clases) es que, por lo suficientemente grande como $p$, este número es una función polinómica de $p$, y el valor de $p$ modulo $n_p$ para un número finito de constantes $n_p$. Por ejemplo, para$n=5$$p \ge 5$, el número de grupos es

$2p + 61 + 2 \gcd(p-1, 3) + \gcd(p-1, 4)$.

El CERDO conjetura ha sido probado por $n=5,6,7$, pero está abierto para $n=8$.

El reciente trabajo de Vaughan-Lee y du Sautoy, sugiere que la conjetura es probable que sea falsa para que un gran $n$. Ver los usuarios.ox.ac.uk/~vlee/CERDO/porcsurvey.pdf