Me gustaría ampliar Juan Goodrick la mención de Zilber del trabajo en exponencial de los campos y la mención de que "Categoricity' es un área activa de investigación. En particular, el modelo de la teoría puede ser utilizado para dar alguna justificación de por qué los teoremas clásicos de las matemáticas deben tener.
En general es una pregunta interesante para ver lo que un buen modelo teórico de comportamiento se traduce en el mundo de la clásica de las matemáticas.
Una manera de ver las cosas (y esto es Zilber punto de vista) es que si una estructura matemática es útil, y por eso bien estudiado por la comunidad matemática, entonces será lo suficientemente complicado como para ser interesante, pero lo suficientemente bueno para ser analizados. Uno de los aspectos del modelo de la teoría está involucrado con el intento de clasificar las estructuras con respecto a la forma en niza (o salvaje), que son (por ejemplo, una estructura que podría ser muy mínima, O-minimal, estable, categórica, etc...).
En la parte superior de la jerarquía lógica de sentarse categórica teorías. Una teoría es de $\kappa$-categórica si se tiene un modelo de isomorfismo en la cardinalidad de $\kappa$. El estereotipo de ejemplo de una categoría de la teoría es la teoría de la algebraicamente cerrado campos de la característica $0$. El único modelo de cardinalidad del continuo es de $\langle \mathbb{C}, + , \cdot , 0,1 \rangle$. Esta estructura matemática tiene mucho cada buen modelo teórico de la propiedad que usted quiere en una estructura - es muy mínima (definible conjuntos son muy simples, es decir, finito o cofinite), $\omega$-estable (no hay muchos tipos de elementos a su alrededor), homogéneo (se puede extender parcial de automorfismos de automorfismos de la totalidad de la estructura), saturado (usted puede darse cuenta de los tipos - es decir, las soluciones a los polinomios son de allí). Esta teoría también está completo y `categórico en competencias " es decir, $\kappa$-categórico para todos los innumerables cardenal.
Una increíble teorema de Morley en realidad dice que si una de primer orden de la teoría es de $\kappa$-categórica para una multitud de cardenal, entonces es categórico para todos los innumerables cardenal. Teorema de Morley (1965) empezó la estabilidad de la teoría, y a partir de ahí Sela ha desarrollado una increíble cantidad de resumen del modelo teórico de la tecnología.
Sin embargo, después de iniciar la estabilidad de la teoría, en primer lugar, parece que el estudio de estructuras categóricas había seguido su curso (Baldwin-Lachlan teorema completamente clasifica las teorías que son categóricos en competencias). Pero recientemente Zilber di cuenta de que algunos de Sela del modelo abstracto teórico de la tecnología con respecto a infinitary lógicas pueden ser utilizados para el estudio de concreto, bien conocida, y muy interesante estructuras matemáticas.
Por ejemplo, como el de Juan Goodrick menciona, si usted intenta y axiomatize la interacción de la función exponencial con el complejo campo es decir, se intenta y captura de la teoría de la $\langle \mathbb{C}+ \cdot ,0,1, e^x \rangle$, y usted quiere que sea categórica, entonces usted necesita cosas como Schanuel las conjeturas y las hipótesis en las intersecciones de Tori (CIT) para celebrar. A lo largo de líneas similares es el Zilber-Rosa conjetura.
Así que el modelo de la teoría nos puede dar algún tipo de justificación de por qué ciertos resultados deben tener. Por ejemplo, si usted mira la teoría de la cobertura universal de los no CM de curva elíptica sobre un campo de número, y pedir que sea $\aleph_1$-categórica, entonces resulta que un famoso teorema de Serre diciendo que la imagen de la Galois representación en la Tate módulo está abierto debe ser verdadera.
