Función de partición para el ruido blanco gaussiano

Question

Problema

Estoy tratando de entender, motivar o derivar desde los primeros principios, la función de partición para el ruido blanco gaussiano, a saber

$$ Z = \int \mathcal{D}\eta(t)\exp\left[-\frac{1}{2D}\int dt \eta(t)^2\right]. $$

Creí que podía resolver los pasos, pero soy incapaz de pasar al límite del continuo desde el caso discreto.

Mi intento

Supuse que, para un ruido blanco gaussiano en una red (puntos discretos en el tiempo), la probabilidad de un ruido de cualquier amplitud $\eta(t_i) = \eta_i$ viene dada por $$ P(\eta_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi D}}\exp\left(-\frac{\eta_i^2}{2D}\right). $$ Estoy atascado intentando pasar al límite de la continuidad desde aquí. Si intentas calcular la función de partición a partir de esto, obtienes $$ Z \stackrel{?}{=} \left(\frac{1}{2\pi D}\right)^{N/2}\prod_i^N \int d\eta_i\exp\left(-\frac{\sum_i^N \eta_i^2}{2D}\right). $$ Pero lo ideal sería tener un épsilon en el exponente para poder hacer

$$ \epsilon \sum_i \eta_i^2 \rightarrow \int dt \eta(t)^2. $$

¿Podría alguien ayudarme a orientarme en la dirección correcta? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

El ruido blanco se caracteriza por la función de autocorrelación $$\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = D \delta(t-t'),$$ (aquí estoy asumiendo que $\eta$ es adimensional por lo que $[D] = [t]$ ). Esto significa que (1) el ruido no debe estar correlacionado consigo mismo en diferentes momentos, pero también que (2) la varianza de $\eta(t)$ debe ser infinito . La condición (2) es el ingrediente esencial que falta aquí.

Antes de mostrar cómo incorporar (2) en un modelo discretizado del ruido, motivemos primero por qué necesitamos $\eta(t)$ tenga una varianza infinita. Esto es necesario para que la señal integrada, definida por $$ W(\tau) = \int_0^\tau{\rm d}t\;\eta(t), $$ sea distinto de cero. En efecto, tenemos que $$ \langle W(\tau)^2\rangle = \int_0^\tau{\rm d}t\int_0^\tau{\rm d}t'\;\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = D\tau,$$ es decir, la varianza de la señal integrada crece linealmente con el tiempo, con "constante de difusión" $D$ , al igual que un paseo aleatorio continuo donde la posición del caminante en función del tiempo viene dada por $W(\tau)$ . Esto no es una coincidencia: la variable aleatoria $W(\tau)$ describe la Proceso Wiener que es fundamental para la definición de ruido blanco. En particular, si ${\rm d}W(t) = W(t+{\rm d}t)-W(t)$ entonces la variable $\eta(t)$ es en realidad definido como $$ {\rm d}W(t) = \eta(t){\rm d}t.$$

Obsérvese que si la varianza de $\eta(t)$ eran finitos, $W(\tau)$ se desvanecerían de forma idéntica. Supongamos que en su lugar $\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = f(t-t')$ , donde $f(0)$ es finito y $f(t) = 0$ para $t\neq 0$ . Por lo tanto, se deduce que $\langle W(\tau)^2\rangle = \langle W(\tau)\rangle = 0$ . Esto implica que la señal integrada $W(\tau)=0$ con probabilidad uno. En otras palabras, las fluctuaciones instantáneas finitas de $\eta(t)$ combinada con su tiempo de correlación cero lleva a que el efecto integrado de la señal de ruido se cancele a cero en cualquier tiempo finito.

Para definir la señal de ruido como el límite continuo de un proceso discreto, partimos de un paseo aleatorio discreto (no sesgado). En cada incremento de tiempo $\delta t = t_{i+1} - t_i$ el caminante se desplaza por la cantidad $\delta W_i = \eta_i \delta t$ (c.f. $ {\rm d}W(t) = \eta(t){\rm d}t$ ), donde $\langle \delta W_i\rangle = 0$ . Haciendo que el tamaño de cada paso sea proporcional a $\delta t$ garantiza que el tamaño del paso tiende a cero en el límite del continuo $\delta t\to 0$ para que $W(t)$ describe una función continua (no diferenciable en ninguna parte). Además, cada uno de estos pasos debe ser estadísticamente independiente para recuperar el tiempo de correlación cero (ruido blanco) en el límite del continuo. También suponemos que el conjunto de pasos $\delta W_i$ están idénticamente distribuidos. Ahora, la varianza de la posición del caminante después de $N$ pasos, correspondientes a un tiempo $\tau = N \delta t$ viene dada por \begin{align} \langle W(\tau)^2\rangle & = \left \langle \left ( \sum_{i=1}^N \delta W_i \right)^2 \right\rangle\\ & = (\delta t)^2 \left(\sum_{i=1}^N \langle \eta_i^2 \rangle + \sum_{i\neq j} \langle \eta_i\eta_j\rangle\right) \\ & = (\delta t)^2 \sum_{i=1}^N \langle \eta_i^2 \rangle, \end{align} donde la tercera igualdad se deriva de la independencia estadística de los pasos: $\langle \eta_i\eta_j\rangle = 0$ para $i\neq j$ .

Ahora, para recuperar la escala correcta $\langle W(\tau)^2\rangle = D \tau$ Debemos tener $$\langle \eta_i^2 \rangle = D/\delta t.$$ La varianza de la variable de ruido blanco discretizado $\eta_i$ por tanto, tiende a infinito en el límite del continuo, como se requiere. Como también exigimos que la estadística del ruido sea gaussiana de media cero (es decir, el único cumulante distinto de cero es la varianza), se deduce que la función de distribución de probabilidad única es $$ P(\eta_i) \propto \exp \left ( -\frac{\eta_i^2 \delta t }{2D} \right), $$ hasta una constante de normalización no especificada. El resultado correcto para la función de partición se obtiene después de escribir la integral de trayectoria y tomar el límite del continuo $\delta t\sum_i \to \int\mathrm{d} t$ .