Topología/continuo funciones $\mathbb{R}^n$ con rutas.

Question

Sabemos que para una función de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ a ser continua, no es suficiente para la oimt se continua con respecto a cada coordenada. Yo believethe la mayoría de política contra-ejemplo es la función de $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$$(x,y)\neq 0$$f(0)=0$.

Lo que si asumimos la continuidad "con respesct para cada dirección"?

Pregunta 1: Dado $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, supongamos que para cada $x\in\mathbb{R}^n$ y cada una de las $v\in\mathbb{R}^n$, la función de $t\in\mathbb{R}\mapsto f(x+tv)\in\mathbb{R}$ es continua. Es $f$ necesariamente continua?

En lugar de considerar sólo a los lineales de caminos, podríamos considerar arbitraria continua caminos: Vamos a $\mathcal{C}$ el conjunto de continuo rutas de $\lambda:[0,1]\to\mathbb{R}^n$ (habitual en las topologías).

Pregunta 2: Supongamos que para cada $\lambda\in\mathcal{C}$, la función de $f\circ\lambda:[0,1]\to\mathbb{R}$ es continua. Es $f$ continua?

Y, yendo un poco más lejos, podemos admitir arbitraria codomains (espacios topológicos), y esto puede ser expresada en términos de fuerte/final topologías;

Pregunta 3: Es la topología de $\mathbb{R}^n$ el fuerte/final de la topología inducida por $\mathcal{C}$?

Pregunta 1 vino a mi mente hace algún tiempo, y las preguntas 2 y 3 son simples adaptaciones.

Mis ideas iniciales sería el uso de algún tipo de (local) compacidad para tratar de demostrar la continuidad de la $f$, o tal vez de usar las curvas de Peano o algo por el estilo para encontrar un contraejemplo, pero no tengo idea de cómo proceder.

Answer 1

Para cualquier $N\in\Bbb N$, usted puede hacer fácilmente las funciones que son continuas en cada curva $y=cx^k$ $k\le N$ [incluyendo la línea de $x=0$] pero discontinua (en el origen) cuando restringimos a $y=x^{N+1}$. Se los dejo a ustedes para que incluso construir uno que es continuo a lo largo de $y=cx^k$ todos los $k\in\Bbb N$ , pero todavía discontinua en el origen.

Sin embargo, la respuesta a la pregunta 2 es SÍ. Le sugiero que trate de demostrar que en la prueba de los contrapositivo.

Y la respuesta a la pregunta 3 es, si lo entiendo correctamente, también SÍ. El fuerte de la topología será el producto de la topología, que es el estándar métrica de la topología en $\Bbb R^n$.