Formalizar una prueba sin palabras de la identidad de $(1 + 2 + \cdots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$

Question

Este sitio web le da la siguiente prueba sin palabras para la identidad de $(1 + 2 + \cdots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$.

Me parece muy interesante, pero tengo problemas para ver la prueba detrás de él. Podría alguien me podría dar una prueba formal basado en esto de la animación?

Answer 1

Este gif es una buena visualización de los siguientes manipulaciones algebraicas (de color que corresponden a los colores en el gif): $$\begin{align*} (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2 &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij \\ &= \color{green}{\sum_{1 \le i < j \le n} ij} + \color{red}{\sum_{1 \le j < i \le n} ji} + \color{blue}{\sum_{1 \le j \le n} j^2} \\ &= \color{green}{\sum_{1 \le i < j \le n} ij} + \color{red}{\sum_{1 \le i < j \le n} ji} + \color{blue}{\sum_{1 \le j \le n} j^2} \\ &= \sum_{j=1}^n j \left[ \color{green}{\sum_{i=1}^{j-1} i} + \color{red}{\sum_{i=1}^{j-1} i} + \color{blue}{j} \right] \\ &= \sum_{j=1}^n j \left[ \sum_{i=1}^{j-1} \big(\color{green}{(i)} + \color{red}{(j-i)}\big) + \color{blue}{j} \right] \\ &= \sum_{j=1}^n j \left[ \sum_{i=1}^j j\right] \\ &= \sum_{j=1}^n j^3. \end{align*}$$

Answer 2

Observe que la base de la $n^\text{th}$ cubo es la diagonal de prisma cuadrado $n^2\times 1$, y que cada cubo es construir fuera de la diagonal de la plaza de prisma rectangular y en forma de prismas de arriba y a la izquierda de la diagonal prisma cuadrado. Desde que añadir otro término para la mano izquierda de la suma nos dará uno más de la diagonal de la plaza y un conjunto de prismas arriba y a la izquierda de la misma, esto sugiere que el uso de la inducción.

Para $n=1$, trivialmente ha $\left(\sum_{m=1}^n m\right)^2 = \sum_{m=1}^n m^3$.

Ahora, supongamos $\left(\sum_{m=1}^n m\right)^2 = \sum_{m=1}^n m^3$ algunos $n$. A continuación, $$\begin{align*}\left(\sum_{m=1}^{n+1} m\right)^2 &= \left(n+1 + \sum_{m=1}^{n} m\right)^2\\ &= (n+1)^2 + 2(n+1)\left(\sum_{m=1}^{n} m\right) + \left(\sum_{m=1}^{n} m\right)^2 \tag{*}\\ &= (n+1)^2 + 2(n+1)\frac{n(n+1)}{2} + \sum_{m=1}^{n} m^3 \tag{**}\\ &= (n+1)^2(n+1) + \sum_{m=1}^{n} m^3\\ &= \sum_{m=1}^{n+1} m^3 \end{align*}$$ donde $(**)$ proviene de la conocida identidad $\sum_{m=1}^n m = \frac{n(n+1)}{2}$. En $(*)$, el primer término es el volumen de la diagonal prisma cuadrado, el término medio es el volumen de los prismas rectangulares izquierda y por encima de la diagonal del prisma, y el último término es el volumen de las restantes formas.