Cómo realizar la integración abstracta

Question

Supongamos que $X$ es un espacio de Banach. Aquí , página $124$ , está esta frase

Si $\mu$ es un soporte finito en $X$ podemos definir su baricentro $\beta(\mu)=\beta_X(\mu) \in X$ por $$\beta(\mu)=\int x d\mu$$

En el siguiente lema $2.4$ , afirma que $\beta \delta = Id_X$ que creo que es $\beta \delta (x)=x$ .

Pregunta: Cómo aplicar la fórmula integral anterior para obtener la ecuación $\beta \delta = Id_X$ ? En otras palabras, cómo mostrar

$$\beta(\delta(x))=\int x d\delta(x) = x$$

Answer 1

En primer lugar, permítanme intentar aclarar la notación. Para $x\in X$ , $\delta(x)$ denota el $\delta$ medida en el punto $x$ . Es decir, $$ \delta(x)(A) = \begin{cases} 1&x\in A\\ 0&x\notin A \end{cases} $$ para $A\subset X$ y todos los conjuntos son medibles. Cuando se integra con respecto a esta medida, $x$ es un parámetro fijo (que define la medida), no una variable en la integración. Su definición de $\beta$ lee $$ \beta(\mu) = \int_X y d\mu(y) $$ para una medida $\mu$ y en el caso $\mu=\delta(x)$ obtenemos $$ \beta(\delta(x)) = \int_X y d(\delta(x))(y). $$ He añadido paréntesis para mayor claridad y he cambiado la variable de integración para evitar confusiones. A menudo se escribía $\delta_x$ en lugar de $\delta(x)$ .

La integral que toma es una Bochner integral ya que se supone que sus valores son elementos de un espacio de Banach. Mantengamos $x$ fijo. Cualquier función del espacio de medidas $(X,\delta(x))$ a $X$ es medible por Bochner y la integrabilidad de Bochner de $f:X\to X$ es equivalente a $\|f(x)\|<\infty$ . Un simple cálculo utilizando las definiciones del artículo de Wikipedia muestra que si $f:X\to X$ es finito en $x$ entonces $$ \int_X f(y)d(\delta(x))(y) = f(x). \tag{*} $$ (Para la secuencia de funciones simples $s_n$ , solo toma $s_n(y)=f(x)$ para todos $n\in\mathbb N$ y $y\in X$ .)

En nuestro caso $f$ es la función identidad y, por tanto, la integral que define $\beta(\delta(x))$ está bien definida como integral de Bochner y se evalúa en $x$ .

Así, hemos establecido que $\beta(\delta(x))=x$ para todos $x\in X$ . Desde $\delta$ es una función de $X$ a un determinado espacio de medidas sobre $X$ y $\beta$ es una función de ese espacio de medidas a $X$ la composición $\beta\circ\delta$ es una función $X\to X$ . El resultado afirma que ésta es en realidad la función de identidad en $X$ : $\beta\circ\delta=Id_X$ . La función $\delta$ no es lineal, por lo que preferiría mantener el círculo en la composición (no escribir $\beta\circ\delta$ como $\beta\delta$ ), pero esto es cuestión de gustos. La función $\beta$ es lineal si se consideran las medidas con signo para que el espacio de medidas admisibles se convierta en un espacio vectorial.

---

Observaciones añadidas:

• Para cualquier $x\in X$ nuestro $\delta(x)$ es una medida. Una medida toma conjuntos como argumentos y da números. La integración con respecto a una medida (ésta o cualquier otra medida suficientemente regular) define un funcional del espacio de las funciones continuas a los reales. Es decir, para una medida $\mu$ el funcional es $f\mapsto \int_Xf(y) d\mu(y)$ . A veces la gente identifica una medida con el funcional correspondiente, pero son dos objetos diferentes.

• Más detalles en (*): Compare esta presentación con el artículo de Wikipedia; allí se introduce la notación. Definir una secuencia $(s_n)$ de funciones simples en $X$ simplemente por $s_n(y)=f(x)$ (o, de forma equivalente, $s_n=f(x)\chi_X$ ). Cada función es la misma función constante. Tenemos $\int_Xs_n(y)d(\delta(x))(y)=f(x)$ . La función $X\to\mathbb R$ dado por $y\mapsto\|f(y)-s_n(y)\|$ toma el valor $0$ en $x$ . Por lo tanto, $\int_X\|f(y)-s_n(y)\|d(\delta(x))(y)=\|f(x)-s_n(x)\|=0$ . (Se trata de la integral habitual con respecto a una medida delta, no de una integral de Bochner). Utilizando la definición de la integral de Bochner, tenemos $$ \int_Xf(y)d(\delta(x))(y)=\lim_{n\to\infty}\int_Xs_n(y)d(\delta(x))(y)=\lim_{n\to\infty}f(x)=f(x). $$

• A menudo la gente permite que las funciones también tomen valores infinitos. Si la función $f$ es realmente una función $X\to X$ y no $X\to X\cup\{\infty\}$ para un "infinito abstracto $\infty$ ", entonces por supuesto $\|f(x)\|<\infty$ para todos $x$ porque todos los puntos tienen norma finita.

• Cualquier medida puede ser convertida en funcional como se ha descrito anteriormente. Si esta conversión se realiza para la medida $\delta(x)$ se obtiene el funcional de evaluación en $x$ . Esto es lo que dice la ecuación (*).