Sí, el resultado es ambiguas y no hay forma de evitar la ambigüedad. Voy a tratar de explicar.
En primer lugar, permite resolver este sistema de ecuaciones. Su apariencia sugieren el uso de coordenadas polares, $x=r\cos\theta,$ $y=r\sin\theta.$ Luego, por la regla de la cadena, $f_r=f_x x_r+f_y y_r=0,$ $f_\theta=f_x x_\theta+f_y y_\theta=1,$ por lo tanto $f=\theta + const.$.
Ahora la función de $\theta$ (por lo tanto,$\theta + const.$, para cualquier valor de $const.$), no puede ser definida en el conjunto de la $x,y$ plano en un continuo manera, incluso si se excluye el origen. Si se define en la forma habitual, mediante la medición de la izquierda de partida en la dirección positiva de $x$-eje, se obtiene un salto discontinuo de $2\pi$ a través de la positiva $x$-eje. Así que de esta manera se define, continuamente y differentiably, sólo en el complemento en el $x,y$ plano de la no-negativo $x$-eje.
En general, puede definirse en una lo suficientemente pequeño barrio de cualquier punto excepto en el origen, pero usted puede extender sólo a una región en la que no "surround" el origen. Este se define más precisly en una topología, por supuesto, pero espero que sea intuitivamente claro.
Este problema es un caso especial de una forma mucho más general de los fenómenos. Deje $U\subset\mathbb R^2$ ser algún conjunto abierto y $a,b:U\to\mathbb R$ algunas de las funciones lisas. Tratemos de encontrar una $f:U\to \mathbb R$ tal que $f_x=a, f_y=b$. Una evidente condición necesaria para la solución de este sistema es que las $a,b$ satisfacer $a_y=b_x$ (esto viene de la identidad de $f_{xy}=f_{yx}$). En su caso, $U$ es el complemento de la de origen, y $a,b$ satisfacer la condición necesaria. Esta condición también es suficiente $locally$, es decir, existe una solución, y es el único hasta una constante, en una lo suficientemente pequeño barrio de cualquier punto en $U$. Pero en general, dependiendo de la $U$$(a,b)$, la condición no es suficiente. Suficiente topológica de la condición en $U$ (independientemente de $a,b$) es que es simplemente conectado (no hay "agujeros", a diferencia de su $U$). Pero esto no es necesario. Un necesario y condición suficiente es que la integral de línea de $adx + bdy$ a lo largo de cualquier curva cerrada en $U$ debe desaparecer. En su caso, la integral de línea de $adx+bdy$ alrededor del origen (de la izquierda) es $2\pi$, que es la razón por la que usted no puede resolver las ecuaciones en todos los de $U$.
En la fantasía topológico idioma de esta se resume como sigue: una condición necesaria para el 1 formulario a - $adx+bdy$
para ser exactos es que es cerrado, y una condición suficiente para que una forma cerrada para ser exactos es la fuga de sus períodos a lo largo de todos los no-trivial de los ciclos en $U$.
