Estoy tratando de encontrar una forma cerrada de la función generadora
$$ G(x) = \sum_{n \ge 0} r^\binom{n}{2} x^n $$
para un número real $0 < r < 1$ . Encontré que $G(x) = 1 + xG(rx)$ . ¿Alguna pista sobre dónde ir ahora?
Teniendo en cuenta la respuesta de @zyx a continuación, dejemos
$$ H(x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} r^\binom{n}{2} x = \prod_{m\ge1} (1-r^m)(1+r^{m-1} x)(1+r^m x^{-1}), $$
donde la igualdad de la suma y el producto proviene del triple producto de Jacobi. Obsérvese que $H(rx) = xH(x^{-1})$ .
Además, el uso de $\binom{-n}{2} = \binom{n+1}{2}$ podemos obtener $\sum_{n<0} r^\binom{n}{2} x^n = xG(x^{-1})-x-1$ .
¿Y ahora qué?
