¿Es el número 0,23434343434 racional?

Question

Considera el siguiente número:

$$x=0.23434343434\dots$$

Mi pregunta es si este número es racional o irracional, y cómo puedo asegurarme de que un número concreto es racional si está escrito en forma decimal.

Además, ¿es $0.234$ ¿Racional o irracional?

Answer 1

Creo que es más interesante demostrar un resultado algo más general, que responda directamente a la pregunta formulada:

Cualquier número con un patrón de repetición finito es racional.

Prueba : Diga $X = a.u_1u_2u_3...u_n\overline{v_1v_2v_3...v_d}$ donde $a$ es un número entero, $u_1,u_2,u_3,...,u_n, v_1,v_2,v_3,...,v_d$ son dígitos y $\overline{v_1v_2v_3...v_d}$ significa que el patrón $v_1v_2v_3...v_d$ está repitiendo.

Entonces, $X$ puede escribirse como $a+\dfrac{u_1u_2u_3...u_n}{10^n}+\dfrac{v_1v_2v_3...v_d}{10^n(10^d-1)}$ .

Por lo tanto, $X$ es racional.

En su ejemplo, en $0.234343434...$ , $a=0, u_1 = 2, n=1, v_1v_2 = 34$ y $d = 2$ .

Así que $0.234343434... = 0 +\dfrac{2}{10}+\dfrac{34}{990}$ .

Answer 2

Dejemos que $y = .3434\ldots$ . Entonces, $100y = 34.3434\ldots$ . Así que $100y-y = 99y = 34$ . Por lo tanto, $y = \frac{34}{99}$ .

Desde $0.03434\ldots$ es simplemente lo anterior dividido por $10$ tenemos

$$0.2343434\ldots = 0.2 + \frac{34}{990}$$

lo cual es ciertamente racional.

Answer 3

Tenemos $100x=23.434343\cdots$ y $10000x=2343.434343\cdots$ así que $$9900x=2320$$ por lo que $x$ es racional y

$$x=\frac{2320}{9900}=\frac{116}{495}$$

Answer 4

$\begin{array}{r}-\\\ \end{array} \begin{align} 1000x & = 234.3434...\\ 10x & = \phantom{00}2.3434...\\ \hline 990x & = 232 \end{align}$

$x = 232/990=116/495$ . Así, $x$ se puede representar como un cociente de dos enteros con denominador no igual a cero, por lo que es un número racional.

Answer 5

Todo número que pueda escribirse en notación decimal de forma que a partir de algún punto exista una subsecuencia que se repita, es racional.

Por ejemplo, $1=1.0000000000000000000000...$ es racional ya que el cero se repite hasta el infinito. $1/3=0.33333333333333333333...$ también es racional, ya que el tres se repite una y otra vez.

También es racional el número $0.4872823482342934765656565656565656565656$ porque el $56$ comienza a repetirse en algún momento.

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En su caso concreto, no es difícil ver que $0.234343434...$ es racional, ya que, si $t=0.234343434...$ entonces $100t = 23.434343434...$ Así que $$99t = 100t - t = 23.2000000000000\dots = \frac{242}{10} = \frac{116}{5}$$ lo que significa que $$t=\frac{\frac{116}{5}}{99} = \frac{116}{495}$$ que es racional.