¿Es el número 0,23434343434 racional?

Question

Considera el siguiente número:

$$x=0.23434343434\dots$$

Mi pregunta es si este número es racional o irracional, y cómo puedo asegurarme de que un número concreto es racional si está escrito en forma decimal.

Además, ¿es $0.234$ ¿Racional o irracional?

Answer 1

$0.2\overline{34} = {1 \over 10} (2+0.\overline{34})$ y $0.\overline{34} = 100(0.\overline{34})-34$ Así que $99 (0.\overline{34}) = 34$ , de lo que obtenemos $0.2\overline{34} = {1 \over 10} (2+{34 \over 99}) = { 232 \over 990}$ . Desde $\gcd(232,990) = 2$ obtenemos $0.2\overline{34} = { 116 \over 495}$ .

Answer 2

Cualquier cosa que se pueda escribir como una fracción de dos enteros 23/99 o lo que sea es racional

cualquier cosa que no se pueda escribir como la fracción de dos enteros como la raíz cuadrada de la mayoría de los números la mayoría de las sumas infinitas, por ejemplo, pi. el logaritmo, y la mayoría de los límites no son racionales

$$1.41421...=\sqrt{2}$$

$$1.100100001... = \sum_{n=0}^{\infty} 10^\left (-1 (n^2 )\right )$$

¿Por qué se pregunta eso?

porque los matemáticos se esfuerzan por tener las operaciones inversas a todas las operaciones posibles,

la inversión de todas las sumas y restas, multiplicaciones y divisiones de los números racionales es posible con los propios números racionales

en cuanto miras los números cuadrados, ves que hay grandes saltos: 1,4,9

¿cuál es la raíz cuadrada de 2,3 o 5,6,7,8?

como multiplicar y elevar al cuadrado con fracciones es multiplicar numerador con numerador y negador con negador, que como se definió anteriormente también son números enteros y dan como resultado números enteros, necesitamos buscar una fracción que dé como resultado uno de los números anteriores

pero como las fracciones se pueden escribir en forma abreviada con los factores primos comunes cancelados, es posible demostrar que no puede haber ninguna fracción que dé como resultado 2,3 o cualquier otro número entero que no sea un número cuadrado