Propiedades de las soluciones a $x'=t-x^2$

Question

Deje $f_c$ ser la solución a $$ \left\{ \begin{array}{c} x'=t-x^2 \\ x(0) =c \end{array} \right. $$

Estoy tratando de probar:

1. Si $c \geq 0$ $f_c(t)$ está definido para todos los $t>0$
2. No hay una única $c_0$ tal que $f_{c_0}(t)$ está definido para todos los $t>0$$\lim_{t\to +\infty} (f_{c_0}(t)+\sqrt t) =0$.

Answer 1

Soluciones con $c\ge 0$ caer por debajo de $\sqrt{t}$ y alójese entre el $0$ $\sqrt{t}$

Para cada $c\ge 0$ existe $t_0$ tal que $f_c(t_0)=\sqrt{t_0}$. Además, $f_c(t)>\sqrt{t_0}$ $0\le t<t_0$ $0\le f_c(t)<\sqrt{t_0}$ $t>t_0$

Prueba. Por la condición inicial, $f_c(0)\ge 0=\sqrt{0}$. Por lo tanto, si no $t_0$ existe, $f_c (t)>\sqrt{t}$ todos los $t>0$. De acuerdo a la educación a distancia, esto implica $f_c(t)'<0$, lo $f_c$ está disminuyendo, por lo tanto $f_c(t)\le c$ todos los $t>0$. Pero $\sqrt{t}$ es ilimitado; una contradicción.

Por lo tanto, vamos a $t_0$ ser el primero $t$ tal que $f_c(t_0)=\sqrt{t_0}$. Por construcción, $f_c(t)>\sqrt{t_0}$$0\le t<t_0$. Supongamos que no es $t>t_0$ tal que $f_c(t)=\sqrt{t}$; deje $t_1$ ser el más pequeño tal $t$. A continuación,$f_c'(t_1)=0$, lo que implica que en algún barrio de $t_1$, la función de $f_c(t)-\sqrt{t}$ está disminuyendo. Pero esto es imposible, porque $f_c(t)-\sqrt{t}<0$$t_0<t<t_1$.

Por último, desde el $f_c'(t)>0$$t>t_0$, se deduce que el $f_c$ nunca se convierte en negativo. De hecho, $t_0$ es su punto de mínimo, con el mínimo valor de ser $\sqrt{t_0}$.

Soluciones con $c\ge 0$ existentes en el mundo

Global existencia de solución a seguir, desde el teorema de Picard, porque

1. el lado derecho $F(x,t)=t-x^2$ es de Lipschitz en delimitada rectángulos;
2. en cualquier intervalo de $[a,b]$ la solución permanece en el interior del rectángulo $[a,b]\times [0,\sqrt{b}]$.

La singularidad de $c_0$ tal que $f_{c_0}(t)=-\sqrt{t}+o(1)$ $t\to\infty$

Por lo anterior, $c_0$ debe ser negativo. Si $b<c_0$, $f_b(t)-f_{c_0}(t)$ es una función decreciente de $t$, ya que los pequeños valores de la solución de producir más pequeños los valores de la derivada en el rango negativo. Por lo tanto, $f_b(t)-f_c(t)$ está acotada arriba por $b-c_0<0$, y desde $f_{c_0}(t)+\sqrt{t}$ converge a cero, $f_{b}(t)+\sqrt{t}$ no converge a cero.

La existencia de $c_0$ tal que $f_{c_0}(t)=-\sqrt{t}+o(1)$ $t\to\infty$

El conjunto $U=\{c : \exists t>0 \ f_c(t)>-\sqrt{t}\}$ está abierto: de esta manera se sigue de la continuidad de $f_c$ con respecto al $c$. El único candidato posible para $c_0$$\inf U$. Que $U$ está delimitado a continuación puede demostrar de la siguiente manera:

1. El IVP $x'=1-x^2$ $x(0)=-2$ tiene solución $x(t) = \frac{e^{2t}+3}{e^{2t}-3}$ que se escapa a $-\infty$$t=\frac12\ln 3<1$.
2. El IVP $x'=t-x^2$ $x(0)=-2$ tiene solución que se mantiene por debajo de la solución en el punto 1 en el intervalo de $[0,1]$; por lo tanto, también debe escapar a $-\infty$.

Por eso, $\inf U\ge -2$.

No veo una prueba directa del hecho de que para $c=\inf U$ la solución es asintótica a $-\sqrt{t}$. El estándar de reducción de Riccati ecuación de 2º orden lineal de la ecuación (que resulta ser la ecuación de Airy) se relaciona este hecho con la existencia de una función de Airy que es$o(1)$$t\to\infty$.

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Soluciones con $c\ge 0$ satisfacer $f_c(t)=\sqrt{t}+o(1)$ $t\to\infty$

Desde ya sabemos que la solución cae por debajo de $\sqrt{t}$, es suficiente para demostrar: si $c\ge 0$, luego $$ f_c(t)>t^{1/2}-t^{-1/2},\quad t\ge 1 \etiqueta{1} $$ Deje $g(t)=t^{1/2}-t^{-1/2}$. El punto clave es que el $g$ satisface la desigualdad $$g'(t) < t-g(t)^2,\quad t>1\tag{2}$$ porque $$g'(t)=\frac12 t^{-1/2}+\frac12 t^{-3/2} < 1$$ y $$ t-g(t)^2 = t - t + 2 - t^{-1} >1 $$ En virtud de (2), $f_c-g$ no puede cambiar de signo de positivo a negativo: en un punto donde $f_c=g$, la desigualdad de $f_c'>g'$ mantiene. Y desde $f_c(1)>0=g(1)$, se deduce que el $f_c>g$$[1,\infty)$.