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Propiedades de las soluciones a x=tx2

Deje fc ser la solución a {x=tx2x(0)=c

Estoy tratando de probar:

  1. Si c0 fc(t) está definido para todos los t>0
  2. No hay una única c0 tal que fc0(t) está definido para todos los t>0lim.

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Normal Human Puntos 45168

Soluciones con c\ge 0 caer por debajo de \sqrt{t} y alójese entre el 0 \sqrt{t}

Para cada c\ge 0 existe t_0 tal que f_c(t_0)=\sqrt{t_0}. Además, f_c(t)>\sqrt{t_0} 0\le t<t_0 0\le f_c(t)<\sqrt{t_0} t>t_0

Prueba. Por la condición inicial, f_c(0)\ge 0=\sqrt{0}. Por lo tanto, si no t_0 existe, f_c (t)>\sqrt{t} todos los t>0. De acuerdo a la educación a distancia, esto implica f_c(t)'<0, lo f_c está disminuyendo, por lo tanto f_c(t)\le c todos los t>0. Pero \sqrt{t} es ilimitado; una contradicción.

Por lo tanto, vamos a t_0 ser el primero t tal que f_c(t_0)=\sqrt{t_0}. Por construcción, f_c(t)>\sqrt{t_0}0\le t<t_0. Supongamos que no es t>t_0 tal que f_c(t)=\sqrt{t}; deje t_1 ser el más pequeño tal t. A continuación,f_c'(t_1)=0, lo que implica que en algún barrio de t_1, la función de f_c(t)-\sqrt{t} está disminuyendo. Pero esto es imposible, porque f_c(t)-\sqrt{t}<0t_0<t<t_1.

Por último, desde el f_c'(t)>0t>t_0, se deduce que el f_c nunca se convierte en negativo. De hecho, t_0 es su punto de mínimo, con el mínimo valor de ser \sqrt{t_0}.

Soluciones con c\ge 0 existentes en el mundo

Global existencia de solución a seguir, desde el teorema de Picard, porque

  1. el lado derecho F(x,t)=t-x^2 es de Lipschitz en delimitada rectángulos;
  2. en cualquier intervalo de [a,b] la solución permanece en el interior del rectángulo [a,b]\times [0,\sqrt{b}].

La singularidad de c_0 tal que f_{c_0}(t)=-\sqrt{t}+o(1) t\to\infty

Por lo anterior, c_0 debe ser negativo. Si b<c_0, f_b(t)-f_{c_0}(t) es una función decreciente de t, ya que los pequeños valores de la solución de producir más pequeños los valores de la derivada en el rango negativo. Por lo tanto, f_b(t)-f_c(t) está acotada arriba por b-c_0<0, y desde f_{c_0}(t)+\sqrt{t} converge a cero, f_{b}(t)+\sqrt{t} no converge a cero.

La existencia de c_0 tal que f_{c_0}(t)=-\sqrt{t}+o(1) t\to\infty

El conjunto U=\{c : \exists t>0 \ f_c(t)>-\sqrt{t}\} está abierto: de esta manera se sigue de la continuidad de f_c con respecto al c. El único candidato posible para c_0\inf U. Que U está delimitado a continuación puede demostrar de la siguiente manera:

  1. El IVP x'=1-x^2 x(0)=-2 tiene solución x(t) = \frac{e^{2t}+3}{e^{2t}-3} que se escapa a -\inftyt=\frac12\ln 3<1.
  2. El IVP x'=t-x^2 x(0)=-2 tiene solución que se mantiene por debajo de la solución en el punto 1 en el intervalo de [0,1]; por lo tanto, también debe escapar a -\infty.

Por eso, \inf U\ge -2.

No veo una prueba directa del hecho de que para c=\inf U la solución es asintótica a -\sqrt{t}. El estándar de reducción de Riccati ecuación de 2º orden lineal de la ecuación (que resulta ser la ecuación de Airy) se relaciona este hecho con la existencia de una función de Airy que eso(1)t\to\infty.


Soluciones con c\ge 0 satisfacer f_c(t)=\sqrt{t}+o(1) t\to\infty

Desde ya sabemos que la solución cae por debajo de \sqrt{t}, es suficiente para demostrar: si c\ge 0, luego f_c(t)>t^{1/2}-t^{-1/2},\quad t\ge 1 \etiqueta{1} Deje g(t)=t^{1/2}-t^{-1/2}. El punto clave es que el g satisface la desigualdad g'(t) < t-g(t)^2,\quad t>1\tag{2} porque g'(t)=\frac12 t^{-1/2}+\frac12 t^{-3/2} < 1 y t-g(t)^2 = t - t + 2 - t^{-1} >1 En virtud de (2), f_c-g no puede cambiar de signo de positivo a negativo: en un punto donde f_c=g, la desigualdad de f_c'>g' mantiene. Y desde f_c(1)>0=g(1), se deduce que el f_c>g[1,\infty).

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