Dado $\{A_n\}_{n \in \omega}$ una contables de la colección de vacío conjuntos, hay una función de $f$ dominio $\omega$ $f(n) \in A_n$ por cada $n \in \omega$. Es el caso de que es equivalente , hay algunos infinito subconjunto $I \subseteq \omega$ e $f : I \a \bigcup_{n \in I} A_n$ with $f(n) \en A_n$ for every $n \I$? If not, could we make them equivalents by imposing an upper bound of cardinality of $A_n$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este principio es llamado algunas veces $\bf PCC$, Parcial Contables Elección. La he visto doblada "débil contables elección", así como en otros documentos. En este espíritu, me indicarán $\bf CC$ el axioma de contables elección.
La respuesta es que es equivalente contables de la elección, y algunas de sus restricciones son también equivalente a la análoga restricciones de contables elección.
Claramente $\bf CC\implies PCC$, por lo que sólo queda mostrar la otra dirección, supongamos que $\bf PCC$ mantiene y deje $\{A_n\mid n\in\omega\}$ ser una familia no vacía de conjuntos. Deje $B_n=\prod_{k<n}A_k$, $\{B_n\mid n\in\omega\}$ es una familia no vacía de conjuntos. Deje $I\subseteq\omega$, de manera que podamos elegir a$b_i\in B_i$$i\in I$.
Ahora vamos a definir una función de elección de $\{A_n\mid n\in\omega\}$ como sigue:
$$F(n)=b_i(n)\quad\text{such that}\quad i=\min\{i\in I\mid n<i\}$$
Esta es una función definida, debido a que para cada $n$ hay un único, $i$ con esta propiedad, y se define una función de elección en todos los $A_n$'s.
Es fácil ver el por encima de prueba se generaliza a los casos en que $A_n$ están limitados a una familia de cardinalidades que es cerrado bajo finito productos (queremos que el $B_n$'s, sería bien definido). Así, por ejemplo, esto es cierto si nos limitamos a $A_n$'s para ser finito o contable, o tienen el tamaño de $2^{\aleph_0}$.
Estoy bastante seguro de que la implicación inversa no funciona para todos los de la familia de cardinalidades, pero no puedo recordar de inmediato contraejemplo. Por cierto yo estaba pasando por algunos de los papeles buscando algo y me encontré con el siguiente documento, el cual proporciona una construcción de un contraejemplo en las líneas de la anterior sugerencia:
- Hall, E. y Sela, S. Parcial de la elección de las funciones para las familias de conjuntos finitos. ArXiv (2011)
Es posible que desee echar un vistazo a Herrlich del Axioma de Elección, y, en particular, en la Sección 2.2, el Teorema 2.12 y algunos ejercicios (en particular el quinto ejercicio).
