Uno puede encontrar de forma explícita $a_i,b_i,c_i\in\Bbb N,i=1,2,3,4$, de modo que $$ a_i<b_i, \qquad \text{ and } \qquad a_i^2+b_i^2=c^2_i \qquad\text{for } i=1,2,3,4$$ y $$a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3=a_4b_4, \qquad c_1<c_2<c_3<c_4.$$
Un poco de contexto:
Una terna Pitagórica es un triple $(a,b,c)\in\Bbb N$, de modo que $a^2+b^2=c^2$. Decimos que $(a,b,c)$ es primitivo si $a,b$ $c$ son coprime. En el dedicado a la wikipedia artículo de la siguiente escrito:
$\big((20, 21, 29), (12, 35, 37)\big)$ es el primer par de ternas Pitagóricas primitivas tales que la inducida por los triángulos tienen la misma área $=210$.
$\big( (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069)\big)$ , un triple de ternas Pitagóricas primitivas tales que la inducida por los triángulos tienen la misma área $=13123110$.
Para cada número natural $n$, $n$ ternas Pitagóricas con diferentes hipotenusas y la misma área.
Un equivalente a la formulación de la pregunta anterior es: Hay alguna forma explícita conocido cuádruple de ternas Pitagóricas tal que la inducida por los triángulos tienen la misma área?
Nota: A093536 reclamaciones que, para un cuádruple, la zona en cuestión se $\geq 10^{17}$.
Nota: Estos problemas son equivalentes por las siguientes razones: Se sigue del hecho básico de que el área de un triángulo asociado a una terna Pitagórica $(a,b,c)$ está dado por $ab/2$ $2n^2=k^2$ sólo ha $(0,0)$ as integer solución. Por CIERTO, tenga en cuenta que $a_i,b_i,c_i$ son coprime si y sólo si $\gcd(a_i,\gcd(b_i,c_i))=1$ $i=1,\ldots,4$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dice aquí, "también se puede encontrar cuartetos de los triángulos rectángulos con la misma área. El cuarteto de tener el más pequeño conocido de la zona es $$(111, 6160, 6161), (231, 2960, 2969), (518, 1320, 1418), (280, 2442, 2458)$$ with area $341880$ (Beiler 1966, pág. 127). Chico (1994) ofrece información adicional."
Las referencias son Beiler, A. H., "El Eterno Triángulo," Ch. 14 en Recreaciones en la Teoría de los Números: La Reina de las Matemáticas Entretiene. Nueva York: Dover, de 1966, y el Chico, R. K., "Triángulos con el Entero Lados, Medianas, y de la Zona." §D21 en Problemas sin resolver en la Teoría de números, 2ª ed. Nueva York: Springer-Verlag, pp 188-190, 1994. Pero hay una 3ª edición de Tipo libro.
Tomo nota de que estos triángulos no son todos los primitivos, pero no preguntes por que.
