En un post anterior Filtraciones y Sigma-Álgebras me hizo la pregunta:
$\textbf{Previous Question:}$ Deje $\Omega=\{1,2,3\}, \mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ $P(\{\omega\})=\tfrac{1}{3}$ por cada $\omega \in \Omega$. Definir un proceso estocástico $(X(t):t\ge 0)$$X(t)(\omega) = \max\{t-\omega,0\}$.Luego de la filtración generados por el proceso estocástico $X$ calcula como \begin{align} \mathcal{F} = \begin{cases} \{0,\Omega\}, \qquad \qquad \qquad \text{if %#%#%} \\ \{0,\Omega,\{1\},\{2,3\}, \phantom{xx}\text{if %#%#%,}\\ \mathcal{P}(\Omega), \qquad \qquad \qquad \phantom{.}\text{if %#%#%.} \end{casos} \end{align}
El usuario V. C. explicado más ampliamente cómo la filtración fue obtenida por la cual estoy muy agradecido. \begin{align} \end{align} Ahora me gustaría extender la pregunta a $t\in[0,1],$
$t \in (1,2]$ A la luz de la pregunta anterior definir \begin{align} \tau : \Omega \rightarrow [0,\infty), \quad \tau(\omega) := \inf\{t \ge 0: X(t)(\omega) > 0\} \end{align} A continuación, se puede observar que $t>2$ no es un tiempo de paro ($\textbf{Stopping Times:}$ pero $\textbf{Extension:}$. \begin{align} \end{align} $\tau$ Podría alguien explicar lo $\{\tau \le 1\} = \{1\}$ representa por favor?
Puedo ver que el proceso estocástico $\{1\} \not \in \mathcal{F}_1$ al $\textbf{Question:}$ $\{\tau \le 1\} = \{1\}$ e lo $X_t(\omega) = t-1$.
Pero estoy confundido porque en la definición de $\omega = \{1\}$ se dice que una función de $t\in(1,2]$, es decir,$0 < t-1 \le 1$, con lo que no estoy seguro de lo $\tau$ se supone que representan.
Toda la ayuda es apreciada.
Muchas gracias,
Juan
