Filtraciones y Sigma-Álgebras y los Tiempos de Parada

Question

En un post anterior Filtraciones y Sigma-Álgebras me hizo la pregunta:

$\textbf{Previous Question:}$ Deje $\Omega=\{1,2,3\}, \mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ $P(\{\omega\})=\tfrac{1}{3}$ por cada $\omega \in \Omega$. Definir un proceso estocástico $(X(t):t\ge 0)$$X(t)(\omega) = \max\{t-\omega,0\}$.Luego de la filtración generados por el proceso estocástico $X$ calcula como $$\begin{align} \mathcal{F} = \begin{cases} \{0,\Omega\}, \qquad \qquad \qquad \text{if %#%#%} \\ \{0,\Omega,\{1\},\{2,3\}, \phantom{xx}\text{if %#%#%,}\\ \mathcal{P}(\Omega), \qquad \qquad \qquad \phantom{.}\text{if %#%#%.} \end{casos} \end{align}$$

El usuario V. C. explicado más ampliamente cómo la filtración fue obtenida por la cual estoy muy agradecido. $$\begin{align} \end{align}$$ Ahora me gustaría extender la pregunta a $t\in[0,1],$

$t \in (1,2]$ A la luz de la pregunta anterior definir $$\begin{align} \tau : \Omega \rightarrow [0,\infty), \quad \tau(\omega) := \inf\{t \ge 0: X(t)(\omega) > 0\} \end{align}$$ A continuación, se puede observar que $t>2$ no es un tiempo de paro ($\textbf{Stopping Times:}$ pero $\textbf{Extension:}$. $$\begin{align} \end{align}$$ $\tau$ Podría alguien explicar lo $\{\tau \le 1\} = \{1\}$ representa por favor?

Puedo ver que el proceso estocástico $\{1\} \not \in \mathcal{F}_1$ al $\textbf{Question:}$ $\{\tau \le 1\} = \{1\}$ e lo $X_t(\omega) = t-1$.

Pero estoy confundido porque en la definición de $\omega = \{1\}$ se dice que una función de $t\in(1,2]$, es decir,$0 < t-1 \le 1$, con lo que no estoy seguro de lo $\tau$ se supone que representan.

Toda la ayuda es apreciada.

Muchas gracias,

Juan

Answer 1

Yo creo que el $\{\tau\leq 1\}$ es un atajo para $$\begin{align*} \{\omega\in\Omega\,|\,\tau(\omega)\leq 1\}. \end{align*}$$

Para ver que esto es coherente con la afirmación de que $\{\tau\leq 1\}=\{1\}$, ten en cuenta que $$\begin{align*} \tau(1)=&\,\inf\{t\geq 0\,|\,\max\{t-1,0\}>0\}=\inf\{(1,\infty)\}=1,\\ \tau(2)=&\,\inf\{t\geq 0\,|\,\max\{t-2,0\}>0\}=2,\\ \tau(3)=&\,\inf\{t\geq 0\,|\,\max\{t-3,0\}>0\}=3. \end{align*}$$

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En general, si $X$ es cualquier espacio y $f:X\to\mathbb R$ es un valor real de la función, entonces $$\{f\leq c\}\equiv f^{-1}((-\infty,c])\equiv\{x\in X\,|\,f(x)\leq c\}$$ para un determinado $c\in\mathbb R$. Para ser honesto, no me gusta esta notación-eres la prueba viviente de que es un foco de confusión.