Estoy estudiando el desarrollo de la Tate Tesis en Lang, la Teoría Algebraica de números y tiene una pregunta conceptual.
El entorno: Vamos a $k=\mathbb{Q}_p$. Deje $\mu$ ser la única medida de Haar dando a $\mu(\mathbb{Z}_p)=1$; tenga en cuenta que $\mu(p\mathbb{Z}_p)=1/p=|p|$, por lo que en general si $E\subset k$ es un conjunto de Borel y $a\in k^\times$,$\mu(aE)=|a|\mu(E)$. Un cuasi-carácter $c$ de la multiplicación de grupo $k^\times$ es un continuo homomorphism en $\mathbb{C}$. Desde $k^\times = U\times P$ donde $U$ es el grupo de la unidad de $\mathbb{Z}_p$, e $P$ es el grupo cíclico generado multiplicatively por $p$ (por lo tanto $P\cong \mathbb{Z}$), $c$ puede ser escrito como $c(a)=\chi(a)|a|^s$ donde $\chi$ es el carácter de $k^\times$ obtenido por la proyección de a $U$ y, a continuación, aplicar el $c$'s de restricción a $U$, e $s$ es el número complejo determinado (hasta un múltiplo de $2\pi i/\log p$) por la ecuación de $c(p)=1/p^s$.
Deje $\lambda:k\rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ser definido por la reducción de un $p$-ádico número modulo $\mathbb{Z}_p$ e incrustación de la resultante de la suma de las potencias de $p^{-1}$$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, y definir la transformada de Fourier de una $L^1$ función de $k\rightarrow \mathbb{C}$ por
$$\hat f(y) = \int_k f(x)e^{-2\pi i\lambda(xy)}d\mu(x)$$
Ahora, para un determinado cuasi-carácter $c$, definir $\hat c$$\hat c(a) = |a|[c(a)]^{-1}$$a\in k^\times$.
Por último, definir un "local zeta-función", que toma como parámetros de una función de $f:k\rightarrow \mathbb{C}$ que es lo suficientemente integrable, y una cuasi-carácter $c$$k^\times$, como sigue:
$$\zeta(f,c) = \int_{k^\times} f(a)c(a)|a|^{-1}d\mu(a)$$
(El $|a|^{-1}d\mu(a)$ es la medida de Haar en $k^\times$.)
La pregunta: En esta configuración, Lang demuestra que para cualquiera de los dos lo suficientemente funciones integrables $f,g$, y cuasi carácter $c$, la ecuación
$$\zeta(f,c)\zeta(\hat g,\hat c) = \zeta(\hat f,\hat c)\zeta(g,c)$$
sostiene. Esta ecuación es al final va a ser utilizado para probar la clásica funcional de la ecuación de la clásica de la $\zeta$-funciones.
Es una especie de milagrosa fórmula: implica que la relación $\zeta(f,c)/\zeta(\hat f,\hat c)$ es independiente de la función $f$ y en realidad es sólo una función de $c$. Lang llama $\rho(c)$.
Yo soy de la prueba paso a paso pero me falta el bosque por los árboles. Así que mi pregunta es esta:
¿Cuál es la relación de $\rho(c)=\zeta(f,c)/\zeta(\hat f,\hat c)$? ¿Qué es lo que nos dice acerca de la cuasi-carácter $c$? Por qué, moralmente, es independiente de $f$?
Disculpas que esta pregunta no es más precisa. Un ejemplo de una forma más precisa pregunta cuya respuesta sería avanzar en mi entendimiento de lo que yo estoy pasando por aquí es
- Escrito $c(a)=\chi(a)|a|^s$ a un personaje $\chi$ $k^\times$ y la fijación del carácter $\chi$ y el campo $k=\mathbb{Q}_p$, $\rho$ se convierte en una función compleja de un número complejo. Debe ser algo muy bonito función debido a que su definición está hecha de tales componentes naturales. Es? Una vez que hemos determinado $p,\chi$, podemos escribir $\rho(s)$ en términos de funciones familiares como $\Gamma$, $\exp$, etc.?
Gracias de antemano.
