Cuadrado de un polinomio

Question

Tengo un problema con la siguiente tarea.

Deje $W(n) := an^2 + bn + c$ donde $a,b,c \in \mathbb{Z}$.
Asumir que todos los $n \in \mathbb Z$ tenemos que $W(n)$ es el cuadrado de un entero.

Mostrar que existe una $P$ tal que $W(n) = P(n)^2$.

Gracias por los consejos o ayuda.

Juan

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, se puede asumir $a,b,c\geq 0$. Desde

$$ 4a W(x) - (2ax+b)^2 = 4ac - b^2 = D, $$

tenemos que la ecuación de Pell

$$ 4a u^2 - v^2 = D, $$

para cualquier $N$ bastante grande, tiene al menos $\left\lfloor\frac{N}{2a}\right\rfloor$ entero soluciones de $(u,v)$$|v|\leq N$. A partir de la teoría de la ecuación de Pell sabemos que, si $D\neq 0$, hay en la mayoría de las $O(\log N)$ soluciones con $|v|\leq N$, por lo que

$$ D=0, \quad a=A^2, \quad c=W(0)=C^2, \quad W(x)=(Ax+C)^2 $$

deben tener.

Answer 2

Tenemos una (posiblemente nonpolynomial) la función $w\colon\mathbb Z\to \mathbb N_0$ tal que $W(x)=w(x)^2$ todos los $x\in \mathbb Z$.

Si $a<0$ $W(x)<0$ para suficientemente grande $x$. Por lo tanto $a\ge 0$. Si $a=0$$b\ne 0$, luego de nuevo a $W(x)<0$ adecuado $x$. Por lo tanto $a=0$ implica $b=0$, pero, a continuación, $W(x)=W(0)=(w(0))^2$ como se desee. Por lo tanto, podemos suponer que para el resto del argumento de que $a\ne 0$.

Si $x$ es grande, entonces $w(x)\approx x\sqrt a$. Más precisamente, si $\alpha,\beta$ son números reales positivos, entonces a partir de $\alpha^2-\beta^2=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)$ vemos que $|\alpha-\beta|\le\frac{|\alpha^2-\beta^2|}\alpha$. Por lo tanto, de $(x\sqrt a+\frac{b}{2\sqrt a})^2-w(x)^2=\frac{b^2}{4a}-c$, llegamos a la conclusión de $$\tag1w(x)=x\sqrt a +\frac b{2\sqrt a}+O(x^{-1}).$$

Si $b=c=0$, $a=w(1)^2$ y tenemos $W(x)=(w(1)x)^2$ como se desee. Por lo tanto, podemos suponer que la $b\ne0$ o $c\ne 0$, por lo tanto, podemos considerar a $d=\gcd(b,w(0))$ y escribir $b=du$, $c=d^2v^2$ con $u,v\in\mathbb Z$. Entonces si $p|v$, $W(p)=ap^2+dup+c$ es un múltiplo de a $p$, pero no de $p^2$, contradiciendo la simetría. En consecuencia, $v=1$, $d=w(0)$, $c=d^2$ y $d|b$.

Como $W(\pm d)=ad^2\pm ud^2+d^2$ es divisible por $d^2$, podemos ver que $w(\pm d)$ es divisible por $d$ $2u=\left(\frac {w(d)}{d}\right)^2-\left(\frac{w(-d)}{d}\right)$ es la diferencia de dos cuadrados. Pero si una diferencia de cuadrados es igual, es también un múltiplo de cuatro. Llegamos a la conclusión de que $u$ es incluso. Por tanto, escribe $b=2dh$$h\in\mathbb Z$. A continuación, $$\tag2W(x) = ax^2+2dhx+d^2=(hx+d)^2+(a-h^2)x^2.$$ Por lo tanto si $h^2=a$, hemos terminado. Por lo tanto suponer que $h\ne \pm\sqrt a$. De $(2)$ obtenemos $(a-h^2)x^2=(w(x)+hx+d)(w(x)-hx-d)$. Por lo tanto $(a-h^2)x^2$ factores $w(x)+hx+d=(\sqrt a +h)x+O(1)$$w(x)-hx-d=(\sqrt a -h)x+O(1)$. Como $x\to \infty$, ambos factores son ilimitados, por lo tanto, de una lo suficientemente grande como primer $x$, cada factor supera $a^2-h$ (en valor absoluto) y por lo tanto debe ser divisible por $x$ (pero no $x^2$). Después de deslinde $x$, esto implica que $a-h^2$ ha entero factores de $\sqrt a +h+O(x^{-1})$$\sqrt a -h+O(x^{-1})$. Como $x$ puede crecer arbitraria grande, $\sqrt a\pm h$ tiene que ser entero, especialmente a $n:=\sqrt a$ es un número entero. Pero luego de $(1)$ tenemos $\frac{b}{2n}=w(x)-nx+O(x^{-1})$ y esto implica que $m:=\frac{b}{2n}$ es un número entero porque $w(x)-nx$ es un número entero y $O(x^{-1})$ arbitrariamente pequeño. Obtenemos $W(x)=(n x+m)^2+c-m^2$, por lo tanto $c-m^2 = (w(x)-nx-m)(w(x)+nx+m)$. El segundo factor es ilimitado por lo tanto el primer factor se convierte arbitrariamente pequeño. Pero como es un número entero, esto significa que se vuelve $0$ grandes $x$. Por lo tanto, $c=m^2$ y $$W(x)=(n x+m)^2.$$

Answer 3

$W(x) = ax^2 + bx + c$ es analítica y positivo con el positivo de reales por lo que la raíz cuadrada $F(x)$ también. Set $C$ a ser el entero $F(0)$ y tenga en cuenta que $c = C^2$. Las funciones de $F$ $W$ tienen el mismo conjunto de raíces, pero a raíz de la $F$ es una doble raíz de $W$ $b^2 = 4aC^2$ esto implica algunos entero $A$ tal que $a^2 = A$ por lo tanto $W(x) = A^2 x^2 + 2AC x + C^2 = (Ax+C)^2$.