subconjuntos y conjuntos de

Question

Yo no soy tan malo en matemáticas, sin embargo quiero entender de matemáticas de la forma en que los matemáticos hacen, así que cogí este libro Cómo Pensar Como un Matemático. El libro parece el libro que estoy buscando. Definitivamente, va a ser muy largo y oscuro túnel, para mí, hasta que yo vea la luz. De cualquier manera, comenzó con los juegos y me encontré con el siguiente

1 - Para cualquier conjunto $X$,$X \subseteq X$.

2 - Para cualquier conjunto $X$,$\emptyset \subseteq X$.

No podía imaginar lo hacen a los dos anteriores declaraciones implican. Para la primera, ¿cómo es que un conjunto es parte de o igual a sí misma? Me imagino la igualdad de aquí, pero no la partición. La segunda declaración, ¿cómo es que un conjunto no vacío tiene un conjunto vacío? Por ejemplo, supongamos $ X = \{1, 2, 3\}$, ahora, ¿por $\emptyset \subseteq X$?

Answer 1

Un muy buen criterio a la hora de empezar en cualquier nueva área de matemáticas: llegar muy, muy claro acerca de las definiciones clave. No sólo hacer una puñalada en adivinar (o ir a por el, tal vez engañoso cotidiana de la terminología utilizada en el etiquetado, o por una informal brillo en la definición): mira cuidadosamente la manera en que nociones clave son rigurosamente definido.

Ahora bien, ¿qué $X \subseteq Y$ significa que, oficialmente?

$X \subseteq Y$ tiene, por definición, si y sólo si, para cualquier $x$ si $x \in X$$x \in Y$.

De manera informal, sí, usted podría estar tentado a gloss $X \subseteq Y$ como por ejemplo, " $X$ es una parte de la $Y$"; que puede ser útil, pero a medida que van encontrando, puede también ser engañosa. Así que olvídate por un momento de la áspera informal brillo y concentrarse en la definición oficial.

Aplica para los dos casos, se tiene en primer lugar, por definición

$X \subseteq X$ si y sólo si, para cualquier $x$ si $x \in X$$x \in X$.

Bien ahora se pregunta: ¿Es el caso que, por cualquier $x$ si $x \in X$$x \in X$? Y entonces, ¿qué tiene que decirle a usted acerca de $X \subseteq X$?

En segundo lugar, tenemos por definición

$\emptyset \subseteq X$ si y sólo si, para cualquier $x$ si $x \in \emptyset$$x \in X$.

Bien ahora se pregunta: ¿Es el caso que, por cualquier $x$ si $x \in \emptyset$$x \in X$? Recordemos que $x \in \emptyset$ es siempre falso: lo que sucede a cuantificados condicionales, donde el antecedente es siempre falso? Y entonces, ¿qué tiene que decirle a usted acerca de $\emptyset \subseteq X$?

Answer 2

Ambas preguntas realmente se reducen a la forma matemáticos uso de la lógica.

1.) $X \subseteq X$ significa que para todos los elementos de a $X$ son elementos de $X$.

2.) $\emptyset \subseteq X$ significa que para todos los elementos de a $\emptyset$ son elementos de $X$.

A ver por qué 1.) es cierto, considerar un elemento $x$ en el conjunto de $X$, pues bien sabemos que $x$ $X$ (!) y así hemos demostrado que todos los elementos de a $X$ son también elementos de $X$.

A ver por qué 2.) es cierto, debemos demostrar que, dado un elemento de $\emptyset$ debe pertenecer a $X$. Pero, no hay elementos de $\emptyset$, por lo que la implicación es (trivialmente) satisfechos. Si usted ha estudiado las tablas de verdad, entonces este se corresponde con el caso de "$P \Rightarrow Q$" donde "P" es falsa.

Answer 3

$X$: "Hola conjunto $Y$, es de tal manera que cualquier elemento de a es también un elemento de mí?"

$Y$: "Sí".

$X$: "Bueno, vamos a practicize una notación que expresa este hecho: $Y\subseteq X$."

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Si $X$ habría hecho la misma pregunta a sí mismo, a continuación, la respuesta hubiera sido "sí", ¿no? Así, en la propuesta de notación: $X\subseteq X$.

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Sobre 2):

$X$: "Hola conjunto $\emptyset$, es de tal manera que cualquier elemento de a es también un elemento de mí?"

$\emptyset$: "Bueno, yo no tengo elementos que no lo son. Aún más, no tengo elementos. Así que, de nuevo, la respuesta es sí"

$X$: "Bueno, vamos a practicize una notación que expresa este hecho: $\emptyset\subseteq X$."

Answer 4

$(1)$ Permite considerar algo que puede parecer más familiar. El símbolo "$\le$" significa menos que o igual a, por lo que si vemos a $a\le b$, uno de los siguientes criterios:se

$(i)\,a\lt b$ ($a$ es estrictamente menor que $b$), o

$(ii)\, a=b$.

Ahora está claro que $a\le a$ porque $(ii)$ mantiene.

Ahora vamos a trabajar con subconjuntos, $Y\subseteq X$ si:

$(i)$ cada elemento de a $Y$ es un elemento de $X$ (sino $Y\ne X$), o

$(ii)$ $Y=X$

Ahora está claro que $X\subseteq X$, debido a $(ii)$ mantiene.

$(2)$ el conjunto vacío $\varnothing$ es el conjunto que consta de ningún elemento. Es cierto que para cualquier conjunto a $X$ tenemos $\varnothing\subseteq X$. Así que echemos un vistazo a esto de manera constructiva, como esta una buena manera de ver cómo funcionan las cosas.

¿Cómo se podía crear un subconjunto de a $X$? Una manera sería simplemente eliminar elementos de $X$, entonces lo que queda satisfaga $(i)$, y por lo tanto ser un subconjunto.

Ahora, retire todos los elementos de a$X$$X$, ¿qué te queda? Un conjunto que consta de nada, I. e la eempty establecido, pero aún $(i)$ mantiene, así que podemos ver que $\varnothing\subseteq X$

Answer 5

La relación $\subseteq$ es igual a la relación de $\le$. No es equivocado decir que el $x \le x$, es decir, "$x$ es menor o igual a $x$", aunque es también cierto que $x = x$. La primera es la más débil de la declaración de la segunda, en la que se transmite menos información. Pero ciertamente no es falsa en cualquier forma. Mirar de otra manera: $\le$ [es menor o igual a] significa lo mismo que $\not >$ [no es mayor que]. Es cierto que $x$ no es mayor que $x$? Sí. Entonces es cierto que $x$ es menor o igual a $x$.

Del mismo modo, $\subseteq$ [es un subconjunto de] es equivalente a decir "no contiene elementos no". Por ejemplo, $X \subseteq Y$ " $X$ no contiene ningún elemento que no esté en $Y$". Es cierto que $X$ no contiene ningún elemento no en $X$? Sí, siempre es verdadero. Por lo $X \subseteq X$.

Ahora, vamos a aplicar esta definición a la declaración de $\phi \subseteq X$. Sabemos que $\phi = \{\}$, y deje $X = \{1, 2, 3\}$, como en tu ejemplo. Ahora, es cierto que $\phi$ no contiene ningún elemento no en $X$? Sí! Por lo $\phi \subseteq X$.

En la más formal de la notación:

1. $X \subseteq Y \Leftrightarrow (\forall x \in X, x \in Y) \Leftrightarrow (\not\exists x \in X, x \notin Y)$
2. $(\forall x \in X, x \in X) \Rightarrow X \subseteq X$
3. $\not\exists x \in \phi \Rightarrow (\not\exists x \in \phi, x \notin X) \Rightarrow \phi \subseteq X$