Resolver $5a^2 - 4ab - b^2 + 9 = 0$ , $ - 21a^2 - 10ab + 40a - b^2 + 8b - 12 = 0$

Question

Resolver $\left\{\begin{matrix} 5a^2 - 4ab - b^2 + 9 = 0\\ - 21a^2 - 10ab + 40a - b^2 + 8b - 12 = 0. \end{matrix}\right.$

Sé que podemos usar la ecuación cuadrática dos veces, pero entonces tendremos unos pasos muy complicados. ¿Hay alguna forma elegante de resolver esto? Gracias.

Answer 1

Puede observar que muchos términos de $$(b+5a-4)^2=b^2+10ab-8b-40a+25a^2+16$$ aparecen en la primera ecuación. Del mismo modo, en la primera, se puede observar $(b+2a)^2$ .

Por manipulación algebraica se obtiene que las ecuaciones originales son equivalentes a $$ \begin{align} (b+5a-4)^2&=4(a^2+1)\\ (b+2a)^2&=9(a^2+1) \end{align} $$ lo que implica $4(b+2a)^2=9(b+5a-4)^2$ y $2(b+2a)=\pm 3(b+5a-4)$ . Esto debería simplificar un poco las cosas. (En cada una de las dos posibilidades se puede expresar $b$ utilizando $a$ como una expresión lineal. Entonces obtendrás una ecuación cuadrática en $a$ . O puede empezar por eliminar $a$ .)

Answer 2

Según Arce, $a=-3/4, b=21/4$ es una solución, y si $r$ es una solución de $2x^2-12x+15=0$ entonces $a=r/2, b=12-(11/2)r$ es otra solución. Como la cuadrática aquí tiene dos ceros reales, hay tres pares $(a,b)$ de números reales para su sistema.

Por supuesto que esta no es una solución elegante, y lo que es peor, depende del arce. Pero me pareció impar ya que al restar las ecuaciones y resolver el resultado para $b$ obtenemos $b=(26a^2-40a+21)/(8-6a)$ , que luego se puede poner en la primera ecuación, por lo que habría esperado una ecuación de cuarto grado para a.

Un comentario de @zyx hizo que se volviera a ver esto sin usar el arce. Cuando la expresión anterior para $b$ se pone en la primera ecuación, la ecuación factorizada para $a$ es $$\frac{(4a+3)^2(8a^2-24a+15)}{4(3a-4)^2}=0.$$ El denominador cero en $a=4/3$ no conduce a una solución de ambas ecuaciones, y cada cero de los factores lineales y cuadráticos en el numerador conduce a una sola $b$ para que el par $(a,b)$ satisface ambas ecuaciones. Así que geométricamente las dos cónicas se encuentran exactamente en tres puntos del plano. La sospecha de que uno debe ser un punto de tangencia me llevó a calcular los dos gradientes de las funciones $f,g$ en el más simple de los puntos, es decir, el $(-3/4,21/4)$ y ambos gradientes resultaron ser paralelos al vector $(19,5)$ . Las otras dos intersecciones procedentes de las raíces cuadráticas son entonces (me parece) intersecciones geométricas transversales de las dos cónicas.

Answer 3

Reste las dos ecuaciones (eliminando así el $b^2$ ) y resolver para $b$ , que se puede introducir en cualquiera de las dos ecuaciones y obtener una ecuación en $a$ Así que $a$ es una solución a $(8a^2-24a+15)(3+4a)^2$ . Las raíces son $a=-3/4, 3/2\pm \sqrt{6}/4$ .

Answer 4

Al ordenar los términos, se puede observar que

$$\begin{cases} 5a^{2}-4ab-b^2+9=0\\ -21a^{2}-10ab+40a-b^{2}+8b-12=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9(a^{2}+1)=(2a+b)^{2}\\ 4(a^{2}+1)=(5a+b-4)^{2} \end{cases}$$

Así que obtenemos

$$\begin{cases} 9(a^{2}+1)=(2a+b)^{2}\\ 4(2a+b)^{2}=9(5a+b-4)^{2} \end{cases}$$

Según la segunda ecuación, podemos obtener dos casos de primera relación entre $a$ y $b$ y luego sustituirlos en la primera ecuación respectivamente, podemos obtener todos los casos de valores de pares $(a,b)$ .

Answer 5

Tenga en cuenta que \begin{equation*} 4(5a^2 - 4ab - b^2 + 9) - 9(-21a^2-10ab+40a-b^2+8b-12) = (19a+5b-12)(11a+b-12). \end{equation*}