Prueba $\sin^2(A)+\sin^2(B)-\sin^2(C)=2\sin(A)\sin(B) \cos(C)$ si $A+B+C=180$ grados

Question

Le pido humildemente que me ayude con esta pregunta.

Si $A+B+C=180$ grados, entonces demuestre $$ \sin^2(A)+\sin^2(B)-\sin^2(C)=2\sin(A)\sin(B) \cos(C) $$ No estoy seguro de qué identidad trigonométrica debo utilizar para comenzar este problema.

Answer 1

Se puede deducir esta identidad de la conjunción de los ley de los senos y el ley de los cosenos .

La ley de los senos dice que para los tres ángulos $A$ , $B$ , $C$ de un triángulo, con lados opuestos $a$ , $b$ , $c$ tenemos $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = d. $$ La última igualdad se limita a definir $d$ y se puede omitir y seguir teniendo un enunciado de la ley de los senos. El valor común $d$ es en realidad el diámetro del círculo circunscrito.

Si las cosas se escalan de manera que $d=1$ entonces tenemos

$$a=\sin A,\quad b=\sin B,\quad c=\sin C\tag{1}$$

La ley de los cosenos dice $$ a^2+b^2-2ab\cos C = c^2.\tag{2} $$ Sustituya las expresiones en $(1)$ en los lugares apropiados en $(2)$ y se obtiene $$ \sin^2 A+\sin^2 B - 2\sin A\sin B\cos C = \sin^2 C $$ y ahí está tu identidad.

Esto sigue dejando el problema de cómo probar la ley de los senos y la ley de los cosenos. Y si quieres utilice su identidad para demostrar la ley de los cosenos, entonces este razonamiento sería circular. Pero si usted puede tomar las dos leyes para ser establecido ya, entonces esto lo hace.

Answer 2

Tomemos el lado derecho. $$2 \sin B \cos C = \sin(B+C) + \sin(B-C) = \sin A + \sin(B-C)$$ Por lo tanto, $2 \sin A \sin B \cos C = \sin^2 A + \sin A \sin(B-C)$ Ahora, $$2 \sin A \sin (B-C) = \cos (A - B +C) - \cos (A + B -C) = \cos 2C - \cos 2B = 2 \sin^2 B - 2 \sin ^2 C$$ Cancelación de la $2$ nos da por lo tanto, que $\sin A \sin (B-C) = \sin^2 B - \sin^2 C$ .

Para terminar, ya hemos establecido $2 \sin A \sin B \cos C = \sin^2 A = \sin A \sin (B-C)$ . Ahora bien, como $\sin A \sin (B-C) = \sin^2 B - \sin^2 C$ Por lo tanto, $2 \sin A \sin B \cos C = \sin^2 A + \sin^2 B - \sin^2 C$ .

Answer 3

$\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C=\sin^2A+\sin(B+C)\sin(B-C)$ ya sea utilizando la identidad $\sin^2B-\sin^2C=\sin(B+C)\sin(B-C)$

o $\sin^2B-\sin^2C=\frac{1}{2}(2\sin^2B-2\sin^2C)=\frac{1}{2}(1-\cos2B-(1-\cos2C))=\frac{1}{2}(\cos2C-\cos2B)=-\frac{1}{2}2\sin(B+C)\sin(C-B)=\sin(B+C)\sin(B-C)$
como $\sin(-x)=-\sin(x)$

Ahora, $\sin(B+C)=\sin(180^\circ-A)=\sin{A}$

Así que, $\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C=\sin^2A+\sin{A} \sin(B-C)$

$=\sin{A}(\sin{A}+\sin(B-C))$

$=\sin{A}(\sin(B+C)+\sin(B-C))$ sustituyendo a $\sin{A}$ con $\sin(B+C)$

$=\sin{A}(2\sin{B}\cos{C})$

$=2\sin{A}\sin{B}\cos{C}$

Answer 4

Puede que no sea el camino más corto, pero es bastante sistemático y no implica ningún truco real. En primer lugar, eliminamos el $C$ ángulos de la ecuación, utilizando que $C = 180 - A - B$ . Escribimos $\sin(C) = \sin(180 - A - B) = \sin(A + B)$ y $\cos(C) = \cos(180 - A - B) = -\cos(A + B)$ y lo que tienes que probar es $$\sin^2A + \sin^2B - \sin^2(A + B) = -2\sin A\sin B \cos(A+B)$$ Insertando las fórmulas de adición del seno y del coseno en esto, lo que hay que demostrar se convierte en $$\sin^2A + \sin^2B - (\sin A\cos B + \cos A \sin B)^2 = -2\sin A \sin B(\cos A \cos B - \sin A \sin B)$$ Escribiendo esto, se convierte en $$\sin^2A + \sin^2B - \sin^2 A\cos^2 B - 2\sin A \cos A \sin B \cos B -\cos^2 A \sin^2B$$ $$ = -2\sin A\sin B \cos A \cos B + 2\sin^2 A \sin^2 B$$ Cancelando los términos, su objetivo es demostrar $$\sin^2A + \sin^2B - \sin^2 A\cos^2 B-\cos^2 A \sin^2B = 2\sin^2 A \sin^2 B$$ Equivalentemente, $$\sin^2A(1 - \cos^2B) + \sin^2B(1 - \cos^2A) = 2\sin^2 A \sin^2 B$$ Esta última ecuación es cierta ya que $1 - \cos^2 = \sin^2$ . Así, retrocediendo en los pasos anteriores, se obtiene la ecuación original $\sin^2A + \sin^2B - \sin^2C = 2\sin A \sin B \sin C$ como se desee.

Answer 5

Utilizar:

• $\sin(180 - \alpha) = \sin(\alpha)$ , $\cos(180 - \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha)$
• $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)=1$

Comenzar con la resolución de $C$ Entonces utiliza las identidades del primer punto. Luego amplía $\sin(A+B)$ y $\cos(A+B)$ utilizando la identidad del segundo punto, y su compañera para $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$ .

A continuación, simplifica las expresiones algebraicas y utiliza la identidad del tercer punto.