¿Hay alguna fórmula explícita para $x_n$?

Question

Deje $a$ ser un número real positivo y $(x_n)$ ser la secuencia dada por $x_1>0,$ $$x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\Big(x_n+\dfrac{a}{x_n}\Big).$$ We can prove that $x_n\a\sqrt{a}$ as $n\to\infty.$
Mi pregunta es : "¿hay alguna fórmula explícita para $x_n$ ?"

Answer 1

desde $$x_{n+1}=\dfrac{x^2_{n}+a}{2x_{n}}$$ así tenemos $$x_{n+1}-\sqrt{a}=\dfrac{(x_{n}-\sqrt{a})^2}{2x_{n}}\tag{1}$$ $$x_{n+1}+\sqrt{a}=\dfrac{(x_{n}+\sqrt{a})^2}{2x_{n}}\tag{2}$$ $(1)/(2)$ hemos $$\dfrac{x_{n+1}-\sqrt{a}}{x_{n+1}+\sqrt{a}}=\left(\dfrac{x_{n}-\sqrt{a}}{x_n+\sqrt{a}}\right)^2=\cdots=\left(\dfrac{x_{1}-\sqrt{a}}{x_{1}+\sqrt{a}}\right)^{2^{n}}$$ así tenemos $$x_{n}=\sqrt{a}\cdot\dfrac{1+\left(\dfrac{x_{1}-\sqrt{a}}{x_{1}+\sqrt{a}}\right)^{2^{n-1}}}{1-\left(\dfrac{x_{1}-\sqrt{a}}{x_{1}+\sqrt{a}}\right)^{2^{n-1}}}$$