Si el álgebra de Lie es una suma directa, ¿el grupo de Lie es un producto directo?

Question

Estoy leyendo el corolario 21.6 en el libro "Morse Theory" de John Milnor, pero me he encontrado con una afirmación para la que no tengo ideas.

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie simplemente conectado con una métrica bi-invariante y un álgebra de Lie $ \mathfrak{g} $ . Entonces $ \mathfrak{g} $ se divide como $ \mathfrak{g'} \oplus \mathfrak{c} $ de las álgebras de Lie, donde $ \mathfrak{c} $ es el centro de $ \mathfrak{g} $ y $ \mathfrak{g'} $ es el complemento ortogonal de $ \mathfrak{c} $ . La prueba de ello es fácil.

Pero luego Milnor afirma que $G$ se divide como un producto directo $ G' \times G'' $ de grupos de Lie tales que las álgebras de Lie de $G'$ y $G''$ son $ \mathfrak{g'} $ y $ \mathfrak{c} $ respectivamente. No tengo idea de cómo probarlo, y la referencia proporcionada por Milnor no es útil.

¿Puede alguien dar alguna idea de la prueba o algunas referencias útiles?

Answer 1

El resultado principal que necesitas es:

Supongamos que $G$ y $H$ son grupos de Lie con álgebras de Lie $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ y que $G$ está simplemente conectada. Sea $f:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{h}$ sea un homomorfismo del álgebra de Lie. Entonces, existe un único $F:G\rightarrow H$ para lo cual $d_e F = f$ .

Creyendo en esto por un segundo, observe que $G'\times G''$ es un grupo de Lie simplemente conectado, al igual que $G$ . Aplicando lo anterior al mapa de identidad entre las dos álgebras de Lie, obtenemos un mapa $F_1:G\rightarrow G'\times G''$ así como un mapa $F_2:G'\times G''\rightarrow G$ .

La composición $F_2\circ F_1: G\rightarrow G$ satisface $d_e(F_2\circ F_2) = Id$ pero también lo hace $Id:G\rightarrow G$ . Por la unicidad anterior, esto implica $F_2\circ F_1 = Id$ . De la misma manera, $F_1\circ F_2$ es la identidad, por lo que ambos son isomorfismos de grupos de Lie.

La siguiente prueba del hecho destacado se encuentra en las notas de Wolfgang Ziller Propuesta 1.20 .

Dado $f:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{h}$ Considere el gráfico $\mathfrak{k}=\{(x,f(x))\in \mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}: x\in\mathfrak{g}\}$ . Desde $f$ es un homomorfismo, el grafo es una subálgebra. Por lo tanto, hay un único subgrupo conectado $K$ de $G\times H$ con el álgebra de Lie $\mathfrak{k}$ . La proyección $\pi_1:G\times H\rightarrow G$ cuando se restringe a $K$ es una cobertura porque $d\pi_1$ cuando se restringe a $\mathfrak{k}$ es la identidad. Dado que $G$ está simplemente conectado, $\pi_1|_{K}$ es un isomorfismo entre $K$ y $G$ . Entonces el mapa $\pi_2\circ(\pi_1|_{K})^{-1}: G\rightarrow H$ induce $f$ .