¿Cómo puedo probar que $\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20}}}-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20}}} \approx 1$

Question

¿Cómo puedo probar que

$$\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20}}}-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20}}} \approx 1$$

sin usar la calculadora?

Answer 1

En general, se sostiene que $$\sqrt{n(n-1)+\sqrt{n(n-1)+\sqrt{n(n-1)}}}=n-\frac{1}{8n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)$$ and that $$\sqrt{n(n-1)-\sqrt{n(n-1)-\sqrt{n(n-1)}}}=(n-1)+\frac{1}{8n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\,$$ for all $n\geq 1$. Hence, their difference is $$1-\frac1{4n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\,.$$ In particular, for $n=5$, the difference should be about $1-\dfrac1{100}=0.99$. This is quite close to the actual value of $0.9872649...$.

De$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+O\left(x^2\right)$,$\sqrt{1-\frac1n}=1-\frac1{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Esto significa $$\sqrt{n(n-1)}=n\,\sqrt{1-\frac{1}{n}}=n\,\Biggl(1-\frac1{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\Biggr)=n-\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right)\,,$$ which can also be written as $$\sqrt{n(n-1)}=(n-1)+\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right)\,.$$ Ergo, $$\begin{align}\sqrt{n(n-1)+\sqrt{n(n-1)}}&=\sqrt{n^2-\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right)}&=&n\,\sqrt{1-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)}\\&=n\,\Biggl(1-\frac{1}{4n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\Biggr)&=&n-\frac{1}{4n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\,.\end{align}$$ Similarly, $$\sqrt{n(n-1)-\sqrt{n(n-1)}}=(n-1)-\frac{1}{4n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\,.$$ Hence, $$\begin{align}\sqrt{n(n-1)+\sqrt{n(n-1)+\sqrt{n(n-1)}}}&=\sqrt{n^2-\frac{1}{4n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)}\\&=n\,\sqrt{1-\frac{1}{4n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)}\\&=n\,\Biggl(1-\frac{1}{8n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\Biggr)\\&=n-\frac{1}{8n^3}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\,.\end{align}$$ Likewise, $$\sqrt{n(n-1)-\sqrt{n(n-1)-\sqrt{n(n-1)}}}=(n-1)+\frac{1}{8n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\,.$$ In fact, we can prove by induction on $k$ that $$f^+_k\big(n(n-1)\big)=n-\frac{1}{2^kn^{k-1}}+O\left(\frac{1}{n^k}\right)$$ and $$f^-_k\big(n(n-1)\big)=(n-1)-\frac{(-1)^k}{2^kn^{k-1}}+O\left(\frac{1}{n^k}\right)\,,$$ where $f^+_k(x):=\sqrt{x+f^+_{k-1}(x)}$ with $f^+_0(x):=0$ and $f^-_k(x):=\sqrt{x-f^-_{k-1}(x)}$ with $f^-_0(x):=0$ for all $x\geq 0$ and for each $k=1,2,3,\ldots$.

Answer 2

Incluso sin una calculadora, usted puede hacer los números con bastante facilidad. 20 es aproximadamente a mitad de camino entre 16 y 25 años, por lo $\sqrt{20} \approx 4.5$. Por lo $20\pm\sqrt{20}$ es de alrededor de 15,5 y 24.5, respectivamente. Estos a su vez tienen raíces cuadradas de aproximadamente (un poco menos de 4 y 5. Esto deja a $\sqrt{25}−\sqrt{16}\approx 1$. El "poco menos que" podría contribuir error significativo en su propio, pero ya que es un tamaño similar podemos esperar que gran parte cancelar: $\sqrt{25-\epsilon} - \sqrt{16-\epsilon} \approx \sqrt{25} - \sqrt{16}$, ya que nos puede esperar que el cambio de cada raíz por una cantidad similar. Aquí $\epsilon = 1/2$.

Answer 3

Si consideramos una cadena infinita.

Supongamos $x = \sqrt{20 +\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{\cdots}}}}}$

$x = \sqrt{20 +x}\\ x^2 = 20 + x\\ x^2 - x - 20 = 0\\ (x-5)(x+4) = 0$

$x$ debe ser mayor que $0, x = 5$

y $y = \sqrt{20 -\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{\cdots}}}}}$

$ $ y = \sqrt{20 - y}\\ y^2 + y - 20=0\\ y = 4$

$x-y = 1$

Ya que vamos a añadir más términos en virtud de esas raíces cuadradas $\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20}}}-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20}}}$ converge hacia 1.

Answer 4

El uso de la aproximación clásica: $$\sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a}$$ Con $a = \sqrt{20}$ $b = \sqrt{20 + \sqrt{20}}$ hemos $$\sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20}}} \approx \sqrt{20} + \frac{\sqrt{20 + \sqrt{20}}}{2\sqrt{20}} = \sqrt{20} + \frac{\sqrt{400 + 20\sqrt{20}}}{40} $$ Ahora uso la misma aproximación clásica de nuevo, esta vez de trabajar con el numerador del segundo término. Esta vez con $a=20$ $b=20\sqrt{20}$ tenemos $$\sqrt{400 + 20\sqrt{20}} \approx 20 + \frac{20\sqrt{20}}{40} = 20 + \frac{\sqrt{20}}{2}$$ La combinación de estos, tenemos: $$\sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20}}} \approx \sqrt{20} + \frac{20 + \frac{\sqrt{20}}{2}}{40} = \sqrt{20} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{20}}{80}$$

Utilizando métodos similares, obtenemos $$\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20}}} \approx \sqrt{20} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{20}}{80}$$

Finalmente, restando una de la otra, terminamos con $$\sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20}}} -\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20}}} \approx \left( \sqrt{20} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{20}}{80} \right) - \left( \sqrt{20} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{20}}{80} \right)$$ y en esta última expresión todo lo cancela con la excepción de la $$\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2} \right) = 1$$

Answer 5

En repetidas ocasiones el uso de $\sqrt{1+x} \aprox 1+x/2$,la

$\begin{array}\\ d(a) &=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}-\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a}}}\\ &=(\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}-\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a}}})\dfrac{\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a}}}}{\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a}}}}\\ &=\dfrac{(a+\sqrt{a+\sqrt{a}})-(a-\sqrt{a-\sqrt{a}})}{\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a}}}}\\ &=\dfrac{\sqrt{a+\sqrt{a}}+\sqrt{a-\sqrt{a}}}{\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a}}}}\\ &=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{1+1/\sqrt{a}}+\sqrt{1-1/\sqrt{a}})}{\sqrt{a}\sqrt{1+(1/a)\sqrt{a+\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\sqrt{1-(1/a)\sqrt{a-\sqrt{a}}}}\\ &=\dfrac{\sqrt{1+1/\sqrt{a}}+\sqrt{1-1/\sqrt{a}}}{\sqrt{1+\sqrt{1/a+1/a^{3/2}}}+\sqrt{1-\sqrt{1/a-1/a^{3/2}}}}\\ &\approx\dfrac{1+1/(2\sqrt{a})+1-1/(2\sqrt{a})} {1+(1/2)\sqrt{1/a+1/a^{3/2}}+1-(1/2)\sqrt{1/a-1/a^{3/2}}}\\ &=\dfrac{2} {2+(1/(2\sqrt{a}))\sqrt{1+1/a}-(1/(2\sqrt{a}))\sqrt{1-1/a}}\\ &\approx\dfrac{2} {2+(1/(2\sqrt{a}))(1+1/(2a)-(1/(2\sqrt{a}))(1-1/(2a)}\\ &\approx\dfrac{2} {2+(1/(2\sqrt{a}))(1/(2a))}\\ &=\dfrac{1} {1+(1/(8a^{3/2}))}\\ &\approx 1-(1/(8a^{3/2}))\\ \end{array} $