Es la categoría de equivalencia único hasta el isomorfismo?

Question

Vamos $\mathbf C$, $\mathbf D$ ser categorías y $F, F':\mathbf C \to \mathbf D$ $G, G':\mathbf D \to \mathbf C$ ser functors de la dirección que se muestra. Es el caso que, si cada uno de $(F,G)$ $(F',G')$ es una equivalencia, a continuación, $F\cong F'$ (isomorfo en $\mathbf D^\mathbf C$)?

Al principio pensé (sin pensar) que no podía ser más que "una" equivalencia (hasta el isomorfismo) entre dos categorías. Pero, una vez traté de probar esto, no pude encontrar ninguna razón por qué debe ser así. Yo estaba equivocado? Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

No; por ejemplo, supongamos $C = D = 2$, la categoría discreta con dos objetos, y deje $F = G = \mathrm{id}_C$ mientras $F' = G'$ es el functor el intercambio de los objetos.

Editar para añadir más ejemplos sencillos:

Si pensamos en el poset $(\mathbb Z, <)$ como una categoría, entonces las dos equivalencias $\mathrm{id}_{\mathbb Z}: \mathbb Z \to \mathbb Z$ $S: \mathbb Z \to \mathbb Z$ no son isomorfos.

Si pensamos en un grupo como una categoría de objeto (de modo que functors corresponden al grupo homomorphisms), entonces para cualquier no-trivial grupo $G$ la asignación de $G \times G \to G \times G$ que se intercambia los elementos no es isomorfo a la identidad en $G \times G$. Más en general, dos del grupo de homomorphisms son isomorfos si y sólo si son conjugadas, por lo que, en particular, cualquier no-identidad automorphism de un grupo abelian (por ejemplo, la negación de la mayoría de abelian grupos) no es isomorfo a la identidad de ese grupo.

Answer 2

Para conseguir algo más que la intuición de este, nota que análoga declaraciones no son verdaderas para otros objetos matemáticos. Por ejemplo, si $G$ $H$ son isomorfos a los grupos, a continuación, el conjunto de isomorphisms entre ellos es en bijection con el conjunto de automorfismos de cualquiera de ellos. Un grupo puede tener más de una distinta automorphism.

Answer 3

Pedro Freyd del libro "Abelian Categorías" contiene una discusión de este tema, en el Ejercicio de la B al final del Capítulo 1. Él define el automorphism grupo de clase de una categoría $C$ a ser el grupo de equivalencias $C\to C$ modulo naturalmente isomorfo a la identidad. Como un ejemplo de que esto no es trivial, él le da la categoría de conjuntos ordenados y el fin de la preservación de las funciones. El functor que invierte el orden es una equivalencia, pero no es isomorfo a la identidad.