Si $f:X\to Y$ es un uno-a-uno de asignación continua, y $Y$ $T_{2}$- espacio, entonces no $X$ también tiene que ser un $T_{2}$-espacio?

Question

Motivación:

Para cualquiera de los dos puntos $y_{1},y_{2}\in Y$, existen abiertos disjuntos conjuntos que contengan $y_{1}$ $y_{2}$ por separado, como $Y$ $T_{2}$- espacio. Decir $f(x_{1})=y_{1}$$f(x_{2})=y_{2}$. Luego, tomando a los inversos de los distintos bloques abiertos, tenemos distintos bloques abiertos que contengan $x_{1}$ $x_{2}$ por separado.

¿Por qué los inversos de los distintos bloques abiertos también son disjuntos es que si hubo un punto en común entre dos conjuntos en $X$ e no $Y$, luego de que el punto se asignan a dos puntos diferentes en $Y$, una en cada uno distinto, cual es imposible.

Recuerden $f$ es uno-a-uno. Por lo tanto, como hay distintos bloques abiertos para cada $y_{i}$$y_{j}$, correspondiente abrir establece para cada $x_{i}$$x_{j}$. No esta hacen que la $X$ un espacio de Hausdorff demasiado?

Answer 1

Estás en lo correcto. Sin embargo, podemos concluir que

Si $f:X\to Y$ es un uno-a-uno de asignación continua, y $Y$ $T_{3}$- espacio, a continuación, $X$ no tiene que ser $T_3$.

Ejemplo 1: Considere el espacio de $X$ con un Mínimo de Hausdorff Topología. Es $T_2$ no $T_3$. Sin embargo es submetrizable, es decir, existe una relación uno-a-uno de asignación continua de $X$ a un espacio metrizable. Tenga en cuenta que cada espacio metrizable es $T_3$.

$X$ es submetrizable.

Probar: $X$ es contable, entonces $X$ es separable y tiene un zeroset diagonal. Cada separables en el espacio con una zeroset diagonal es submetrizable.

Answer 2

Tienes razón acerca de la situación al $f: X \to Y$ es continua, 1-1 y en, e $Y$ es Hausdorff entonces es $X$. La prueba de que ha esbozado es correcta: las imágenes de distintos puntos son diferentes y tienen distintos barrios de la que podemos sacar a la espalda.

En los comentarios se le preguntó acerca de la apertura. Es que no es cierto que $f$ tiene que ser un mapa. Un ejemplo estándar: $X = [0,2\pi)$, $Y= S^1 \subset \mathbb{R}^2$, el círculo unidad, y $f(x) = (\cos(x),\sin(x))$. Este mapa no está abierto. E. g. considere la posibilidad de $f[[0,\pi)]$ y tenga en cuenta que $[0,\pi)$ está abierto en $[0,2\pi)$.

Pero si $X$ es compacto, entonces el mapa de $f$ será cerrado y por lo $f$ es un homeomorphism (y, por tanto, también).