Por lo que n no $n^2 + 2010$ brecha $n^3 + 2010$

Question

Me acaba de pasar hace 5 días tratando de conseguir una solución a este:

Encontrar todos los números enteros, para quien la fracción

$\frac{n^3 + 2010}{n^2 + 2010}$

los rendimientos otro número entero.

Antes de preguntar, por favor, tenga en cuenta que esto es de hecho un ejercicio de una competencia de matemáticas. Sin embargo, este concurso ya ha terminado, así que no te preocupes, no estás haciendo mi tarea.

Si alguien sería tan amable de dar una explicación, podría formular en términos de la escuela secundaria de matemáticas? Gracias.

P. S.: por Favor, perdone mi crudo inglés. No es mi idioma principal.

Answer 1

Nota: $\rm\quad\displaystyle\ \frac{n^3+2010}{n^2+2010}\ =\ n + \frac{2010\ (1-n)}{n^2+2010}\ \in \ \mathbb Z\ \iff\ n^2+2010\ |\ 2010\ (1-n) $

$\rm\ gcd(n^2+2010,\: 1-n) = gcd(2011,\: 1-n)\:.\ $ Desde $\:2011\:$ es primo, esta $\rm gcd$ $\:1\:$ si $\rm\ 1 < n < 2012\:,\ $ así que si $\rm\ n < 2012\ $ entonces $\rm\ n = 1\ $ o $\rm\ n^2+2010\ |\ 2010\ \Rightarrow \ n = 0\:.$

Pero $\rm\ \ n \ge 2012\ \Rightarrow\ n^2+2010\ > |2010\ (1-n)|\:.$

Answer 2

La idea de empezar con la división de polinomios es correcta, pero Raskolnikov es derecho sobre el fin de la discusión: la respuesta es un número entero mientras la $2010 \frac{1-n}{n^2+2010}$ es un número entero, decir igual a $k$; se puede entonces afirmar que esto es cierto siempre que $\frac{n-1}{n^2+2010} = \frac{k}{2010}$ $k \in \mathbb{Z}.$ Ahora bien, si la función de la izquierda se hace menor que $1/2010,$ no tiene más soluciones; Espero que esto baste para trabajar el resto del problema.

Answer 3

Usted encontrar que (algoritmo Euclidiano)

$$\frac{ n^3 + 2010 }{ n^2 + 2010 } = n + \frac{ (1-n) 2010 }{ n^2 + 2010 }.$$

Para un número entero de la división que usted necesita

$$\frac{ (1-n) 2010 }{ n^2 + 2010 } = k, $$

para algún entero k. Usted puede resolver esta última ecuación para 'n'

$$n = -\frac{1005}{k} \pm \frac{1}{k} \sqrt{1005} \sqrt{1005 - 2 k ( k - 1)}.$$

Ahora, observando que 1005 no es un cuadrado de un número entero, usted automáticamente a la conclusión de que

$$1005 - 2 k ( k - 1) = 1005 a^2,$$

para algunos entero 'a'. La solución de este para la 'k' de los rendimientos

$$k = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{2011 - 2010 a^2}.$$

Por lo tanto, las únicas soluciones son los generados por a = 1, que son

$$k = 0 \Rightarrow n = 1;$$

$$k = 1 \Rightarrow n = 0 \text{ (positive sign solution) and } n = -2010 \text{ (minus sign solution).}$$

Answer 4

Necesitamos tener $n^2+2010$ brecha $n^3+2010$ uniforme (sin resto). Después de algunos división de polinomios usted encuentra que

$$ n^3+2010 = n(n^2+2010)+2010-2010n $$

donde el $2010-2010n$ es el resto término. Por lo tanto la respuesta es un número entero sólo al $2010-2010n=0$ o $n=1$.