Evaluar la Suma de $\sum_{i=0}^\infty \frac {i^N} {4^i}$

Question

$$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac {i^N} {4^i}$$

Estoy supone que para evaluar este como en el que estoy trabajando a través de Estructuras de Datos y Análisis de Algoritmo en C++. He resuelto problemas similares, y después de probar todos los álgebra-fu manipulaciones en el que puedo pensar, estoy perplejo.

Mis primeros esfuerzos fueron, de forma similar a cómo resolver los tres problemas anteriores en la serie, para intentar hacer las cosas como el ajuste es igual a S, dividiendo ambos lados por cuatro, y restando las ecuaciones, en formas diversas, en un intento de cancelar los términos. Sin embargo, me falta algún paso para hacer que suceda.

Answer 1

Las técnicas relacionadas con:(I), (II), (III). Recordando la identidad para el operador $(xD)^n$ donde $D=\frac{d}{dx}$,

$$ (xD)^n = \sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}x^k D^k , $$

donde $\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}$ son los números de Stirling del segundo tipo. Uno puede tener una forma cerrada para la suma de términos de una suma finita. La aplicación de este operador para la función de $\frac{1}{1-x}$

$$ \sum_{k=0}^{\infty}{k^n}{x^k}= (xD)^n\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}x^k D^k \frac{1}{1-x} $$

$$\implies \sum_{k=0}^{\infty}{k^n}{x^k}= \sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix} k!\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}. $$

Subs $x=\frac{1}{4}$ en la anterior identidad da

$$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{4^k} = 4\sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix} \frac{k!}{3^{k+1}}. $$

He aquí algunos de los valores de la última fórmula para $1\leq n \leq 7$

$$ \left\{ \frac{4}{9},{\frac {20}{27}},{\frac {44}{27}},{\frac {380}{81}},{ \frac {4108}{243}},{\frac {17780}{243}},{\frac {269348}{729}} \right\} . $$