Demostrar la siguiente desigualdad integral

Question

Supongamos que $ $f(x) y $ $g(x) son función continua desde $[0,1] \rightarrow [0,1] $ y $f$ es monótona creciente, entonces cómo probar la desigualdad siguiente: $$\int_{0}^{1}f(g(x)) dx\le\int_ {0} ^ {1} f (x) dx + \int_ {0} ^ {1} g (x) dx$ $

Answer 1

Por el Valor medio Teorema para las Integrales no es un punto de $\xi$ en $[0,1]$ que $$ \int_{0}^{1}[f(g(x))-g(x)]dx=f(g(\xi))-g(\xi) $$ Vamos a $u = g(\xi)$. Entonces $$ f(g(\xi))-g(\xi) = f(u)-u \leq f(u) - uf(u) = (1-u)f(u) $$ (la desigualdad es debido al hecho de que $0 \leq f(u) \leq 1$.) Dado que $f$ es monótona creciente, $f(x) \geq f(u)$ para todo $x$ en $[u,1]$. Así $$ (1-u)f(u) = \int_u^1 f(u)\,dx \leq \int_u^1 f(x)\,dx \leq \int_0^1 f(x)\,dx $$ Reorganización, $$ \int_0^1 f(g(x)) \,dx \leq \int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^1 g(x)\,dx $$ Más!