Además, es allí cualquier manera intuitiva de visualizar las cardinalidades que resultado?
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Calanus
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La lectura de los comentarios, me di cuenta de que parte de su pregunta se refiere a lo que establece intermedio de cardinalidad se vería. Como Richard y John Goodrick señaló, no son sencillas definiciones de los números ordinales de intermedio de cardinalidad. Pero supongo que la pregunta es más bien acerca de si existen conjuntos de números reales, con un nivel intermedio de cardinalidad, y lo que estos conjuntos de reales vería.
No es demasiado difícil de usar los ordinales a cocinar algunos de los conjuntos de los números reales. (Por ejemplo, hay probablemente una definibles de manera de representar cada contables ordinal por un número real y, a continuación, el conjunto de representaciones será de por sí de intermedio de cardinalidad.) Pero hasta donde yo sé, nadie ha llegado con cualquier caracterización directa de un conjunto de números reales que podría tener intermedio de cardinalidad.
Hay una gran cantidad de resultados negativos, aunque. La primera es la de Cantor-Bendixson teorema, el cual establece que ninguna conjunto cerrado puede tener intermedio de cardinalidad. (El teorema muestra que cada conjunto cerrado es contable o tiene un http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_set_property>perfecto subconjunto. Desde perfecta conjuntos de cardinalidad del continuo esto significa que no pueden ser intermedio.)
De hecho, algunas de difícil trabajo de Martin y otros en los años '70 mostró (utilizando sólo ZF) que Borel determinación de que es cierto, que entre otras cosas, implica que cada conjunto de Borel es contable o tiene un subconjunto perfecto. Si suponemos además proyectivas de determinación (que establece los teóricos tienden a creer), a continuación, el mismo es cierto para conjuntos proyectivos.
Por lo tanto, cualquier conjunto de intermedio cardinalidad tiene que ser bastante raro. No puede ser cerrado, no puede ser Borel, y (si se establece teóricos del derecho acerca de la determinación proyectiva) no puede ser proyectiva. Por lo tanto, debe ser bastante loco, como sabemos acerca de la no-medibles conjuntos. (Aunque no hay ninguna garantía de que el intermedio de cardinalidad va junto con la capacidad de medición - Martin, el Axioma de garantías que en el hecho de que cada conjunto de intermedio cardinalidad es medible y tiene una medida de 0.)
MojoFilter
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Alon: "Saharon Sela, en particular, publicado extensamente sobre la cuestión de lo Aleph podría la cardinalidad del continuo posiblemente ser."
En realidad esta pregunta (y mucho más) es respondida por un teorema de W. B. Easton desde 1970. Resulta que el proceso podría ser cualquier cardinalidad infinita de innumerables cofinality! (Al menos si asumimos que los axiomas de ZFC son consistentes, que la mayoría de las personas están dispuestos a hacer.)
Ver Easton del Teorema, que es demostrado por una variación de la obligando método utilizado originalmente por Paul Cohen para conseguir que ZFC + no-CH es equiconsistent con ZFC:
http://en.wikipedia.org/wiki/Easton%27s_theorem
Así, por ejemplo, el continuum podría ser aleph_1, o aleph_17, o incluso el 23 de Woodin cardenal (si usted cree en esas cosas), pero NO podía ser aleph_omega (esto violaría Konig del Lema).
Sela ha hecho muchas contribuciones a "el cardenal de la aritmética" y qué tipo de límites puede ser demostrado por el cardenal exponentes sólo en ZFC. Esto se pone muy técnico, muy rápido, pero usted puede conseguir el sabor de aquí:
Creo que su lectura es errónea. Conjunto de teóricos han estudiado todo tipo de axiomas adicionales, algo de lo que implica CH, algunos de ellos son estrictamente más débiles que los CH, y muchos de contradecir a CH. Mi entendimiento es que la mayoría de conjunto de los teóricos de hoy, si tienen alguna opinión sobre el asunto, prefiero pensar que CH es falso. En particular, Woodin recientemente ha avanzado un argumento filosófico para una fuerte adicional axioma de la teoría de conjuntos que implica que la continuidad es \aleph_2.
Sin embargo, el hecho de la cuestión es que CH tiene muy poco efecto sobre el "ordinario matemáticas". Usted puede venir para arriba con un par de abajo-a-tierra aparente combinatoria de declaraciones que son el equivalente a CH, pero que, en realidad, nunca viene si nunca tratar con objetos que son infinitos o son infinitos y no tienen una gran cantidad de estructura conectada a ellos. Para referencia, es coherente para la cardinalidad de los números reales para ser casi cualquier innumerables cardinalidad (el único requisito es que tenga innumerables cofinality.
No tengo tiempo ahora, pero si quieres más referencias sobre este puedo probar y añadir un poco más tarde.
Anonymous User
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En virtud de ZFC, la negación de la CH es en realidad equivalente a Freiling del "Axioma de Simetría". Wikipedia dice que esta equivalencia fue probada por Sierpinski.
Freiling el axioma es bastante intuitiva, en la que básicamente dice que (contables) invariantes discretos en los reales de acuerdo en los puntos, para "probabilístico" razones. Creo que hace un genial argumento en contra de la CH :)
Renaud M.
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Las personas que han hecho mucho en CH. No sé cómo responder a los comentarios, pero en una reciente conferencia en Bedlewo, Hugh Woodin reclama de que CH es cierto que en el verdadero modelo de ZFC. Una nueva imagen de V ha ido surgiendo en el que CH es true junto con la GCH. Por supuesto, hay muchos teóricos que no creen en la verdadera V, pero Woodin del trabajo, si todo funciona, será una increíble pieza de la teoría de conjuntos que se identifican indiscutible el verdadero núcleo del modelo de ZFC. Piense en la situación como esta. Si 0^# no existe, que no son pocos quienes sostienen que L no es el núcleo del modelo de ZFC, `core" aquí sólo significa que el mayor canónica. En ese sentido, básicamente identificado el modelo, sin poner ninguna gran cardenal restricciones en el universo. Si el modelo es en sí mismo el verdadero universo de la teoría de conjuntos es un asunto completamente diferente.
Hay un enfoque alternativo a CH a través de forzar a los axiomas y etc. Justin Moore ha obtenido algo realmente profundo resultados recientes sobre este.
