Supongamos que $X$ es un espacio completamente regular. Sea $M$ sea el conjunto de homomorfismos algebraicos no nulos de $BC(X,\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ con la topología de convergencia puntual. Demuestre que $M$ es homeomorfo a $\beta X$ (la compactación Stone-Cech de $X$ ).
He observado que si $x\in X$ entonces $\hat{x}(f)=f(x)$ define $\hat{x}\in M$ . También había otro problema que he hecho donde $X$ era Hausdorff compacto y $M'$ era el conjunto de homomorfismos algebraicos no nulos de $C(X,\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ . En ese caso, $M'$ es homeomorfo a $X$ a través de $x\mapsto\hat{x}$ .
Mis pensamientos sobre este problema son los siguientes:
(1) Funciones continuas limitadas de $X$ a $\mathbb{R}$ tienen extensiones continuas únicas a $\beta X$ . Tal vez esto permita la identificación de $C(\beta X,\mathbb{R})$ con $BC(X,\mathbb{R})$ y, por tanto, la identificación de $M$ con el conjunto de homomorfismos algebraicos no nulos de $C(\beta X,\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ .
(2) El conjunto de homomorfismos algebraicos no nulos de $C(\beta X,\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $\beta X$ .
Si (1) es correcto, junto con (2) debería dar el resultado.
