Demostrar rigurosamente que la urna de Pólya describe una martingala

Question

Trabajamos con la famosa urna de Pólya problema. Al principio uno tiene $r$ bolas rojas y $b$ bola azul en la urna. Después de cada sorteo añadimos $t$ bolas del mismo color en la urna.

$(X_n)_{n \in \mathbb N}$ es la proporción de bolas rojas en la urna después de $n$-th dibujar. Necesito mostrar que $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ es una martingala con rigor (es decir, utilizando sólo los teoremas y sin imaginación poder basados en la experiencia del mundo real).

Yo seleccione una filtración $(\mathcal F_n)_{n \in \mathbb N}=\sigma (X_1,...,X_n)$.

Necesito mostrar que $E(X_{n+1}|\sigma (X_1,...,X_n))=X_n$

$E(X_{n+1}|\sigma (X_1,...,X_n))=E(\frac{lX_n+S}{l+t}|\sigma (X_1,...,X_n))=\frac{lX_n}{l+t}+\frac{E(S|\sigma (X_1,...,X_n))}{l+t}$ donde $l$ es el número de bolas en la urna después de $n$-th dibujar y $S$ es el número de bolas añadido después de la $n+1$-th dibujar (variable aleatoria), el último paso es posible debido a que $X_n$ $\sigma (X_1,...,X_n)$ medibles.

Más $E(S|\sigma (X_1,...,X_n))=tE(\mathcal I\{$leer la bola de a $n+1$-th dibujar$\}|\sigma (X_1,...,X_n))$

¿Cómo debo tomar desde aquí?

Por favor, tenga en cuenta que vi La urna de Pólya modelo describe una martingala, y yo no lo considero lo suficientemente riguroso.

Answer 1

En realidad, puede que desee para dar cuenta de la subyacente proceso aleatorio...

Deje $\{U_n\}_{n=0}^\infty$ ser una secuencia de yo.yo.d. uniforme de variables aleatorias en $[0,1]$. Deje $r_n$ denotar el número de bolas rojas en el tiempo $n$ $l_n=r+g+t\cdot n$

$$X_n=\frac{r_n}{l_n}\text{ and } r_{n+1}=r_n1\{U_{n+1}>X_n\}+(r_n+t)1\{U_{n+1}\le X_n\}$$

Denotar $\mathcal{F}_n=\sigma(U_1,\dots,U_n)$. Entonces

$$\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]$$ $$=\mathbb{E}\left[\frac{r_n}{l_n+t}\times 1\{U_{n+1}>X_n\}+\frac{r_n+t}{l_n+t}\times 1\{U_{n+1}\le X_n\} \Bigg|\mathcal{F}_n\right]$$

$$a=\frac{r_n}{l_n+t}\mathbb{E}\left[1\{U_{n+1}>X_n\}\big|\mathcal{F}_n\right]+ \frac{r_n+t}{l_n+t}\mathbb{E}\left[1\{U_{n+1}\le X_n\}\big|\mathcal{F}_n\right]$$

$$a=\frac{r_n}{l_n+t}\cdot\left(1-\frac{r_n}{l_n}\right)+ \frac{r_n+t}{l_n+t}\cdot \frac{r_n}{l_n}=X_n$$

debido a $r_n,X_n\in\mathcal{F}_n$ $U_{n+1}$ es independiente de $\mathcal{F}_n$.

Nota: La última afirmación de la siguiente manera a partir de la (funcionales) de la monotonía de la clase teorema. Es decir, el TRATADO implica el siguiente resultado:

Reclamo: Supongamos que $X\in \mathcal{F}$ ($\mathcal{F}$ es un sigma-campo), $Y$ es independiente de $\mathcal{F}$, e $f$ es una función medible s.t. $\mathbb{E}|f(X,Y)|<\infty$. Entonces $$\mathbb{E}[f(X,Y)|\mathcal{F}]=g(X)$$ donde $g(x)=\mathbb{E}f(x,Y)$.

Answer 2

En primer lugar, si quieres demostrar lo bien que usted necesita para mostrar el proceso es adapdet y integrables. Voy a omitir este paso.

Para el resto de la propiedad se establece lo siguiente:

$l_n= b+r+ n t$ el número de bolas antes de la n+1 extracción; $A_n$ el evento: n+1 extracción es de color rojo.

A continuación, $X_n$ puede ser expresado de forma recursiva por $X_{n+1}= \frac{l_n X_n +t}{l_{n+1}} I_{A_n} + \frac{l_n X_n }{l_{n+1}} I_{A_n^c}$

Esto conduce a la siguiente:

$$E[X_{n+1}|F_n] = E[X_{n+1} I_{A_n}|F_n] + E[X_{n+1} I_{A_n^c}|F_n] = E[\frac{l_n X_n +t}{l_{n+1}} I_{A_n}|F_n] + E[\frac{l_n X_n }{l_{n+1}} I_{A_n^c}|F_n]= \frac{l_n X_n +t}{l_{n+1}} X_n + \frac{l_n X_n }{l_{n+1}} (1-X_n)=X_n \frac{l_n+t}{l_{n+1}}=X_n$$