Importancia de rigor

Question

Siempre tengo un momento difícil explicar la importancia de rigor a mis amigos que no son matemáticamente mente. Una gran cantidad de pasado matemáticos a desarrollar los cimientos de la actual matemáticas sin tener que ir a través de todo el rigor, pero su obra es todavía relevante ahora, por ejemplo, Newton y Leibniz del cálculo y de Euler trabajo en series infinitas.

Hay un evento histórico donde una conclusión incorrecta se deriva debido a la falta de rigor y causar un efecto dañino?

Edit: muchas Gracias por la animada discusión! Sólo quiero señalar que yo no estoy interesado en los resultados intuitivo o paradojas, en lugar de estoy buscando para los casos en que, erróneamente, derivado de la conclusión causado un efecto desastroso.

Answer 1

Este fue uno de los mejores votado preguntas sobre Matemáticas de Desbordamiento. Usted encontrará muchas respuestas interesantes allí.

Agregó: Uno de mis ejemplos favoritos para que con respecto a la falta de fiabilidad de los datos numéricos es mirar la diferencia de $\operatorname{li}(x)-\pi(x)$, donde $\pi(x)=\sum_{p\leq x}1$ es la principal función de conteo, y $\text{li}(x)=\int_{2}^x \frac{1}{\log t}dt$ es la logarítmica integral. El primer número teorema nos dice que $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)}=1,$$ pero todavía podemos preguntar qué $\operatorname{li}(x)-\pi(x)$? Si queremos crear una trama que va todo el camino hasta $10^{22}$, que es muy lejos, parece que $\operatorname{li}(x)-\pi(x)$ es siempre alrededor de $\sqrt{x}$. Que es, se trata de aumentar hasta el infinito, y los datos parecen sugerir que podríamos encontrar una monótona de la función $f(x)$, aproximadamente, el tamaño de $\sqrt{x}$ donde $\operatorname{li}(x)-f(x)$ sería una mejor aproximación a $\pi(x)$.

Sin embargo, esto no es cierto en absoluto. Littlewood demostrado que $\text{li(x)}-\pi(x)$ interruptores de signo infinitamente a menudo, y creemos que la primera vez que lo hace es de alrededor de $10^{316}$.

Me enteré de esto, mientras que la lectura de la exposición de papel el Primer Número de Carreras por Andrew Granville y Greg Martin. Recomiendo la lectura; es accesible e interesante. El resultado y numéricos que he mencionado anteriormente son en las páginas 5 y 6. (Al comienzo de la sección 2.)

Answer 2

Como sus amigos no son matemáticos, usted puede tratar de ejemplos se puede entender, sencilla paradojas. Por ejemplo, si la base y la altura del triángulo rojo es 1, entonces la longitud de la escalera de abajo es de dos, así que tenemos un argumento simplista de que 2 = $\sqrt{2}$. Este error, de una falta de rigor, podría causar grandes problemas con los mapas de Google, la medición para la construcción de un edificio ... (tratando de mantenerse a la no-matemáticos aquí). Hay muchos de esos fácil paradojas.

(Sé que este argumento es falso--los puntos es la falta de rigor puede ser peligroso)

Añadido por @Steven comentarios a continuación:

Hay veces en las que de manera ingenua disección de no dar la respuesta correcta, como en el caso de diseccionar un círculo de radio $r$ en arcos y reorganizar en un rectángulo aproximado de (limitación) de altura $r$ y ancho de la circunferencia/2 = $\pi r$.

Sin rigor, no podemos saber cuándo se debe confiar en nuestro "razonamiento".

Answer 3

La "era de rigor" en matemáticas comenzó hace unos 150 años, un tiempo en el que gran parte de la matemática antes de esta época se convirtió riguroso y borra de muchos errores. Por esta razón no es muy trivial para llegar con buenos ejemplos, sin saber mucho acerca de la matemática de la historia.

Una de las razones por las que pre-riguroso de las matemáticas sigue siendo útil, es que fue creado esencialmente para contribuir al desarrollo de las teorías físicas. No hubo un verdadero teórico de las matemáticas como la que tenemos hoy, y de hecho, si se mira de cerca, verá que muchos matemáticos a partir de ese momento también fueron físicos, químicos y alquimistas (por no hablar de los magos oscuros y teológica, frutos secos).

Me puede dar un ejemplo similar sobre el axioma de elección, que como un matemáticamente inclinado persona a la que usted probablemente puede relacionar. Considerar los matemáticos de hace exactamente un siglo. Muchos se negaron a aceptar el axioma de elección y que no estaba totalmente claro si es o no es consistente o absurda. Sólo después de Gödel de trabajo de la gente comenzó a relajarse el cuestionamiento constante (aunque aún se puede ver a la gente hoy en día que dicen que el axioma de elección es falsa).

Comparar la situación anterior a la común matemático de 2012. La gran mayoría de los matemáticos acaba de asumir el axioma de elección tan bruscamente que la usan para cosas que no es ni siquiera cerca de ser necesario. De hecho escucho conjunto de los teóricos que admitir que no tiene absolutamente ningún intuición alguna de cómo funcionan las cosas sin el axioma de elección. Por supuesto, esto se puede remediar, pero la gente no va a poner realmente que mucho esfuerzo, porque prefieren utilizar su tiempo para hacer las cosas mejor.

El caso es similar a la importancia de rigor porque estamos tan profundamente en la era de rigor que nosotros, básicamente, se han olvidado de cómo no rigurosa de las matemáticas parecen. Usted puede ver debajo de la superficie cuando se habla a un matemático en algo que actualmente está trabajando en, pero incluso entonces las personas son por lo general tienden a ser cuidadoso con sus palabras como para evitar alegando falsas afirmaciones.

El uso más importante de rigor, creo, viene de la lógica y teoría de conjuntos en la forma de varias paradojas de la teoría de conjuntos. Cuando la teoría de conjuntos fue desarrollado por primera vez por Cantor no, todavía no era suficiente rigor en las matemáticas, en orden a definir todas las nociones necesarias (de la paradoja de Cantor es un excepcionalmente buen ejemplo). Un ejemplo excelente es del teorema de König. König descubierto una contradicción en la teoría de conjuntos, pero fue un error en su comprensión se origina en un no-tan-pruebas rigurosas de algunos afirman que él leyó. El resultado es en realidad uno de los teoremas fundamentales en el cardenal aritmética.

Es importante entender que una vez que comenzaron a ocuparse de la transfinito ya no era más "intuitiva" a nuestra intuición física de cómo deben funcionar las cosas. Esto provocó que muchas personas rechazan estas ideas y humillarla (transfinito de las ideas relacionadas con el axioma de elección, y así sucesivamente). Hoy en día sabemos que si uno no hace uso de la intuición que viene desde el mundo físico, sino que desarrolla una intuición matemática basada en las definiciones y los axiomas de las matemáticas - uno puede tener una buena comprensión de cómo el transfinito básicos de trabajo.

Otros buenos ejemplos son los de Weierstrass función que es continua pero no diferenciable en cualquier lugar. Antes de que se creía comúnmente que todas las funciones continuas fueron derivable en casi todas partes. Gauss mismo topológico argumentos para demostrar el teorema fundamental del álgebra, a pesar de no probar estos argumentos.

Con todo, en matemáticas, tenemos la "noción" y "definición". Rara vez estos dos conceptos coinciden, pero generalmente pensamos acerca de los objetos de una manera y definimos ser aproximadamente lo que nos gustaría ser. La introducción de rigor, aseguró que trabajamos por la definición, y paso por paso, mientras que ser guiado por la idea - y no la otra manera alrededor.

Answer 4

Cauchy y de Fourier tenía una famosa disputa sobre si la transformada de Fourier del uso de series trigonométricas para resolver la ecuación del calor era válido. En gran medida, la base rigurosa nociones de análisis se formalizaron con el fin de resolver la presente controversia. A lo largo del camino, Cauchy publicó un famoso "mal" teorema. (En realidad no era malo; sólo se utiliza una definición diferente de la que se convirtió en estándar.)

Aquí hay otro, más aplicado, por ejemplo. Yo recuerdo ir a una de las reuniones conjuntas hablar de años en los que el orador describió una situación en la que los ingenieros han empleado ampliamente utilizado software para calcular numéricamente soluciones a los del PDE. Pero se había olvidado de demostrar que, en el nivel de precisión que estaban usando, sus métodos convergen a la solución correcta. El resultado fue desastroso: una nueva marca de 180 millones de dólares de la plataforma de petróleo se derrumbó tan thunderously que se registró un 3 en la escala de Richter.

EDIT: Gracias a Kcd aquí está el enlace para más detalles.

Answer 5

Parece que todas las propuestas de respuestas hasta ahora han sido acerca de por qué las matemáticas pueden obtener respuestas incorrectas sin rigor. Mientras que se ha demostrado para ser un trivial riesgo, yo creo que no-matemáticos podría estar interesado en rigor le da a las matemáticas de una posición única como un humano de la actividad.

La idea básica sería que 18$^{th}$ siglo y mayores escritores en todo tipo de géneros utilizados para lanzar alrededor de la frase "voy a demostrar..." sobre todo tipo de noción de que la matemática inclinado nunca admitir como prueba de hoy. Sin embargo, en el momento, no hay absolutamente nada en la escena que funcionó mejor. Euler resultados fueron y son impresionantes, pero, como dicen, para derivar de Euler resultados con los de Euler los métodos de uno tiene que ser en realidad de Euler.

Dado el don de rigor de las matemáticas por Cauchy, Weierstrass, Cantor, Hilbert, Noether, y otros, nos hemos visto en un campo que parece completamente único entre las actividades humanas en esto: supongamos que la comunidad matemática no está de acuerdo acerca de la validez de algunas de las nuevas propuestas de la prueba de matemática de la proposición. Es una increíble apuesta segura que, de regresar después de cinco años, y los expertos en el campo de ahora va a estar de acuerdo. Eso es algo esencialmente nadie más tiene, aunque, por supuesto, ciertas ciencias de cerca o de una mayor aproximación de la misma.

Que debo dejar una advertencia de que nada de esto se aplica a las opiniones, acerca de, digamos, lo que la matemática es la pena-mucha gente se opuso a la teoría de conjuntos en 1900, Bourbaki en 1950, y a la categoría de teoría. Se trata de pruebas específicas bien definidas y que los hechos que los matemáticos no tienen que estar de acuerdo para estar en desacuerdo.