¿Por qué es importante ser formal en matemáticas? Es la formalidad en beneficio de los estudiantes? O es sólo para asustar a los estudiantes fuera de las matemáticas?
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No voy a ser tan ambicioso como para escribir una respuesta completa a esta pregunta. Que requieren de una tabla de contenido listado de lotes de largos capítulos.
Si usted tiene una clase de cálculo a los estudiantes en una universidad del estado, sería un grave error pensar que "Estos niños entienden bien la idea intuitiva de que una función continua en un circuito cerrado delimitado intervalo asume todos los valores intermedios; me debe mostrar que la intuición es poco fiable y hay un riguroso punto de vista de la cuestión."
Más bien, el desarrollo de su intuición para la materia, que es gravemente deficiente cuando empieza el curso, debe ser una prioridad.
El Rigor se utiliza para la comprobación de la corrección del producto terminado, no por su creación en el primer lugar.
PS: Pero creo que también es cierto que cuando uno calcula algo "formalmente" (no en el sentido de "lógica de rigor", a pesar de que puede ser adecuado en algunos casos, pero en el sentido de la siguiente forma) se puede tener ninguna intuición diciendo que toda cosa que está pasando, y que podría venir después.
Trevor Wilson
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No es importante, o incluso deseable, siempre ser formal en matemáticas. Es importante , a veces, ser formal en matemáticas, con el fin de comprobar que nuestra intuición no nos llevó por el mal camino. La hipotética posibilidad de la formalización de todas las matemáticas que se ha hecho hasta ahora es lo que mantiene matemáticas juntos y "en camino" como una disciplina. Debemos tener cuidado de no perderse en la informalidad que esto se convierte en imposible.
Sociológicamente hablando, una prueba matemática de una proposición es algo que puede convencer a todos los otros matemáticos (dado suficiente atención por parte de ellos) que la proposición es correcta. Sin duda una prueba no formal para lograr este objetivo. Sin embargo, la posibilidad de la formalización de la prueba debe existir.
Si una prueba eran esencialmente intuitiva, se puede apelar a mi intuición, pero no la tuya, o viceversa. Si los matemáticos aceptan las conclusiones de un razonamiento que no podía ser formalizado, entonces la matemática se corre el riesgo de fragmentar en condiciones mutuamente incomprensibles sub-disciplinas, ninguno de ellos con un indiscutible reclamación de conocimiento matemático.
En la enseñanza de las matemáticas, uno debe ser especialmente consciente de los aspectos negativos de la excesiva formalidad, tales como "asustar a los estudiantes de distancia." Sin embargo, debido a que el papel de la formalidad de las matemáticas es en última instancia una cuestión importante, sería un error para evitar la formalidad completamente cuando la enseñanza de las matemáticas. Lo que se enseña en matemáticas en el aula debe contener algo de la naturaleza esencial de la práctica de matemáticas, incluso si es atraer a más estudiantes a explicar cálculo vectorial a través de, digamos, la danza interpretativa.
Doug Finke
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http://www.refsmmat.com/articles/unreasonable-math.html
En este artículo se hace un trabajo excelente de explicar por qué la matemática es tan técnica: es un conjunto de instrucciones que, al combinarse de diferentes maneras, puede ser utilizado para describir diversas de la vida real de los fenómenos, como la transferencia de energía o la acumulación de intereses. Es exactamente la precisión que les permite ser combinados de forma fiable, una propiedad que informal lenguas falta.
Derick Bailey
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Por qué ? Porque, dado el hecho de que $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x$ , uno podría estar tentado a decir que el $\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{-n}\cdot\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}\cdot e^{-n}=1$. Ambos de los cuales son falsos ! Mismo aquí.
