Grupos simétricos y el "campo con un elemento"

Question

He oído varias veces que se puede considerar el grupo simétrico en $n$ letras como el grupo lineal general en dimensión $n$ sobre el "campo con un elemento". En particular, esta heurística implicaría, utilizando el teorema de Barrat--Priddy--Quillen, que el algebraico $K$ -Los grupos de teoría del "campo con un elemento" deberían ser los grupos de homotopía estable de las esferas.

¿Puede alguien darme una idea de por qué el grupo simétrico es una opción razonable para el grupo lineal general?

Answer 1

Contémoslo. Existe una fórmula bien conocida para el número de formas de elegir un conjunto ordenado de $n$ subespacios unidimensionales linealmente independientes de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{F}_q$ a saber: $$\frac{q^n - 1}{q - 1} \frac{q^n - q}{q - 1} \cdots \frac{q^n - q^{n-1}}{q - 1} = q^{\frac{1}{2} (n - 1) n} \frac{q^n - 1}{q - 1} \frac{q^{n-1} - 1}{q - 1} \cdots \frac{q - 1}{q - 1}$$ Equivalentemente, es el número de banderas en un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{F}_q$ . Ahora, observe que $$\frac{q^m - 1}{q - 1} = q^{m-1} + \cdots + q + 1$$ y así, tomando el límite $q \to 1$ encontramos que el número de todos los "conjuntos ordenados de $n$ subespacios unidimensionales linealmente independientes de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{F}_1$ " es sólo $n !$ . Pero los espacios vectoriales sobre $\mathbb{F}_1$ se supone que no tienen multiplicación escalar, por lo que también debería ser el número de todas las "bases ordenadas para un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{F}_1$ ". Pero el conjunto de todas las bases ordenadas para un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{F}_q$ tiene una canónica libre y transitiva $\mathrm{GL}_n (\mathbb{F}_q)$ -acción, por lo que esto sugiere que $\mathrm{GL}_n (\mathbb{F}_1)$ debe ser un grupo de $n !$ elementos, como el grupo simétrico.

Por supuesto, también se podría preguntar por qué no nos limitamos a mirar la fórmula de la cardinalidad de $\mathrm{GL}_n (\mathbb{F}_q)$ directamente. Bueno, podríamos: es que $(q - 1)^n$ veces el número de conjuntos ordenados de $n$ subespacios unidimensionales linealmente independientes de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{F}_q$ . Pero eso obviamente va a $0$ como $q \to 1$ que no tiene sentido para un grupo. Así que tal vez la historia anterior es sólo un a posteriori justificación.