"El cierre de la unidad de la bola de $C^1[0, 1]$ $C[0, 1]$" y su tamaño compacto

Question

[Realmente quiero pedir disculpas si este problema se ve un poco demasiado largo.]

El problema :

Esto es tomado de aquí [Pregunta. 3.7 (c)] y dice que...

Demostrar o refutar la comapctness de cierre de la unidad de la bola de $C^1[0, 1]$$C[0, 1]$.

Lo he intentado?

Creo que es bastante claro que la unidad de la bola en $C^1[0,1]$$B= \{f \in C^{1}[0,1]: \lVert f \rVert \leq 1\}$. Nos deja denotar $K= \operatorname{cl}_{C[0,1]}(B)$, el cierre de $B$$C[0,1]$.

Yo realmente no tenía mucha idea de cómo empezar a trabajar en este problema, pero finalmente pensó en utilizar el enfoque secuencial. Si $a$ $b$ son dos puntos tales que $0<a<b<1$, entonces creo que puede haber funciones de $f_a$ $f_b$ tiene la propiedad de que $\lVert f_a-f_b \rVert = 1$ cuales son lo suficientemente suaves para ser en $C^1$. Ahora, ya que es muy tedioso para la construcción de estas funciones de forma explícita, he escaneado un dibujados a mano dibujo de lo que creo que podría parecer.

Aquí $f_a$ $f_b$ tomar los valores cero en casi todo el intervalo de $[0,1]$ y salta para arriba en $a$ $b$ respectivamente. También, como se desprende de la figura, no parten de valores distintos de cero simultáneamente. Ahora, mi argumento es claro: sin embargo el cierre de los dos puntos de $a$ $b$ ven el uno al otro (distingue) siempre habrá funciones como $f_a$$f_b$. Se puede obtener más abrupto y escarpado, pero nunca perderá su $C^1$-ness.

Así que si considero que la secuencia de $(\frac{1}{n})$$[0,1]$, voy a conseguir una secuencia $(f_{\frac{1}{n}})$ $B (\subseteq K)$ donde $m \neq n$ tendremos $\lVert f_{\frac{1}{m}} - f_{\frac{1}{n}}\rVert = 1$. Por lo tanto la secuencia de $(f_{\frac{1}{n}})$ no puede tener un convergentes larga, lo que demuestra que el $K$ no es sequentally compacto y, por tanto, no compacto.

Pero no estoy muy seguro acerca de todos estos. Un amigo mío me dijo que este mismo problema tiene una respuesta positiva y que me hizo suficientemente confundido.

Así que, aquí viene mi pregunta...

En el argumento anterior, donde he ido mal? ¿Cuál es la verdadera respuesta? Y cómo demostrarlo?

Un millón de gracias por leer mi extra-larga de la pregunta. Y gracias un millón por cualquier ayuda que puede ofrecer.

Answer 1

Esto es básicamente un refrito de lo que Martin poner en sus comentarios después de mi pregunta.

Con la norma que yo tenía en la mente, mientras que la publicación de este problema (el sup-norma $\lVert \rVert _{\infty}$$C^1[0,1]$), el argumento que yo originalmente establecidos, funciona bien. Por lo tanto, $K$ no es compacto en $(C^1[0,1], \lVert \rVert _{\infty})$.

Pero, como Martin amablemente señaló, la norma habitual en $C^1[0,1]$ no es el sup-norma, pero la norma definida por $\lVert f \rVert _{C^1[0,1]}= \operatorname{max}\{\lVert f \rVert_{\infty}, \lVert f' \rVert_{\infty}\}$. Si tenemos en cuenta esta norma, entonces la unidad de la bola de cambios a $B' = \{f \in C^1[0,1]: \lVert f \rVert_{C^1[0,1]} \leq 1\} = \{f \in C^1[0,1]: \lVert f \rVert_{\infty} \leq 1, \lVert f' \rVert_{\infty} \leq 1\} $. Aquí mi argumento inicial falla, porque como las funciones de $f_{\frac{1}{n}}$ ser muy fuerte con cada aumento de $n$, sus derivados convertido sin límites. Por lo tanto no pueden pertenecer en $B'$.

Evebtually, por una aplicación de Arzelà–Ascoli teorema en $(C^1[0,1], \lVert \rVert_{C^1[0,1]})$, la $K$ resulta ser compacto. Pero ya que no tengo mucha experiencia sobre ese teorema (y acerca de cosas como el uniforme de acotamiento, equicontinuity etc.), No voy a riesgo de cualquier intento poco entusiasta de probar esta afirmación.

Answer 2

El argumento de la respuesta positiva es una aplicación directa de la Arzela-Ascoli teorema. Recordemos que un conjunto $B \subset C[0,1]$ es secuencialmente compacto en el uniforme ($\|\cdot\|_{\infty}$) topología en $C[0,1]$ fib es equicontinuous y uniformemente acotada. Primero voy a definir estos términos y, a continuación, mostrar que en este caso.

Equicontinuity: para todos los $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualquier $f \in B$ y cualquier $x,y \in [0,1]$, $|x-y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Tenga en cuenta que estamos exigiendo que el módulo de continuidad puede ser elegido de manera uniforme a través de $B$.

Uniforme de Acotamiento: Hay un $M > 0$ tal que para cualquier $f \in B$, $\|f\|_{\infty} \leq M$.

De hecho, $B = \{f \in C^1[0,1] \mid \|f\|_{\infty} \vee \|f'\|_{\infty} \leq 1\}$, por lo que de inmediato nos han uniforme de acotamiento para $M = 1$. Para equicontinuity, recordar por el valor medio teorema que para cualquier $f \in B$, $$ |f(x) - f(y)| \leq \|f\|_{\infty}|x-y| \leq |x - y| $$ lo que significa que para el $\epsilon$ el reto, podemos tomar la $\delta = \epsilon$ cualquier $f \in B$.