[Realmente quiero pedir disculpas si este problema se ve un poco demasiado largo.]
El problema :
Esto es tomado de aquí [Pregunta. 3.7 (c)] y dice que...
Demostrar o refutar la comapctness de cierre de la unidad de la bola de $C^1[0, 1]$$C[0, 1]$.
Lo he intentado?
Creo que es bastante claro que la unidad de la bola en $C^1[0,1]$$B= \{f \in C^{1}[0,1]: \lVert f \rVert \leq 1\}$. Nos deja denotar $K= \operatorname{cl}_{C[0,1]}(B)$, el cierre de $B$$C[0,1]$.
Yo realmente no tenía mucha idea de cómo empezar a trabajar en este problema, pero finalmente pensó en utilizar el enfoque secuencial. Si $a$ $b$ son dos puntos tales que $0<a<b<1$, entonces creo que puede haber funciones de $f_a$ $f_b$ tiene la propiedad de que $\lVert f_a-f_b \rVert = 1$ cuales son lo suficientemente suaves para ser en $C^1$. Ahora, ya que es muy tedioso para la construcción de estas funciones de forma explícita, he escaneado un dibujados a mano dibujo de lo que creo que podría parecer.
Aquí $f_a$ $f_b$ tomar los valores cero en casi todo el intervalo de $[0,1]$ y salta para arriba en $a$ $b$ respectivamente. También, como se desprende de la figura, no parten de valores distintos de cero simultáneamente. Ahora, mi argumento es claro: sin embargo el cierre de los dos puntos de $a$ $b$ ven el uno al otro (distingue) siempre habrá funciones como $f_a$$f_b$. Se puede obtener más abrupto y escarpado, pero nunca perderá su $C^1$-ness.
Así que si considero que la secuencia de $(\frac{1}{n})$$[0,1]$, voy a conseguir una secuencia $(f_{\frac{1}{n}})$ $B (\subseteq K)$ donde $m \neq n$ tendremos $\lVert f_{\frac{1}{m}} - f_{\frac{1}{n}}\rVert = 1$. Por lo tanto la secuencia de $(f_{\frac{1}{n}})$ no puede tener un convergentes larga, lo que demuestra que el $K$ no es sequentally compacto y, por tanto, no compacto.
Pero no estoy muy seguro acerca de todos estos. Un amigo mío me dijo que este mismo problema tiene una respuesta positiva y que me hizo suficientemente confundido.
Así que, aquí viene mi pregunta...
En el argumento anterior, donde he ido mal? ¿Cuál es la verdadera respuesta? Y cómo demostrarlo?
Un millón de gracias por leer mi extra-larga de la pregunta. Y gracias un millón por cualquier ayuda que puede ofrecer.