Pushout de abrir mapa está abierto

Question

He estado luchando con el siguiente problema.

Considerar el pushout para espacios topológicos (o contigüidad espacio) $B \cup_A C$ obtenido por pegando $B$ $C$ a lo largo de $A$ por medio de continuas mapas de $f$$g$. $$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} A & \ra{f} & B\\ \da{g} & & \da{g'}\\ C & \ras{f'} & B \cup_A C\\ \end{array} $$ mostrar que si $f$ está abierto inyectiva y, a continuación, $f'$ (el pushout de $f$) está abierto.

He tratado de tomar un conjunto abierto $U \subseteq C$, y muestran que la $f'(U)$ está abierto, para esto tengo que mostrar que $g'^{-1}(f'(U))$ está abierto en $B$, así que he probado a comparar de alguna manera a $f(g^{-1}(U))$ que es un proceso abierto en $B$, pero no han sido capaces de hacer ningún progreso después de eso.

También no estoy seguro de cómo utilizar la inyectividad de $f$, es tal vez por su inversa? así que puede tomar la igualdad de $f'(g(x)) = g'(f(x))$ y tal vez manipular de alguna manera para obtener algo como $f'(g(f^-1(x)) = g'(x), x \in B$, pero no estoy seguro de si eso es útil.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Tenemos $B \cup_A C = (B \sqcup C)/\sim$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia generada por $f(a) \sim g(a)$, $a \in A$. Deje $\pi\colon B \sqcup C \to B \cup_A C$ el valor del estándar de proyección y nuestro objetivo es demostrar que $\pi^{-1}f'(U)$ está abierto, que es $\pi^{-1}f'(U) \cap C$ $\pi^{-1}f'(U) \cap B$ están abiertos.

Ahora para $c \in C$ tenemos $c \in \pi^{-1}f'(U)$ si hay algo de $u \in U$$\pi(u) = \pi(c)$. Que es $u \sim c$ y por lo tanto, hay algunos elementos $a_i \in A$ con $g(a_1) = u$, $f(a_1) = f(a_2)$, $g(a_2) = g(a_3)$, $\ldots$, $f(a_{n-1}) = f(a_n)$, $g(a_n) = c$ por definición de $\sim$. Inyectividad de $f$ da $a_1 = a_2$, $a_3 = a_4$, $\ldots$ y por lo tanto todos los $g(a_i)$ son iguales. Por lo tanto necesitamos tener $c = u \in U$. Que es $\pi^{-1}f'(U) \cap C = U$, que es abierto.

Ahora vamos a $b \in B$, $\pi(b) \in f'(U)$ fib si hay algo de $u \in U$$\pi(u) = \pi(b)$. Que es $u \sim c$ y por lo tanto, hay algunos elementos $a_i \in A$ con $g(a_1) = u$, $f(a_1) = f(a_2)$, $g(a_2) = g(a_3)$, $\ldots$, $g(a_{n-1}) = g(a_n)$, $f(a_n) = b$ por definición de $\sim$. Inyectividad de $f$ da $a_1 = a_2$, $a_3 = a_4$, $\ldots$ y por lo tanto todos los $g(a_i)$ son iguales. Que es $u = g(a_1) = g(a_n)$, $f(a_n) = b$. Que es $\exists a \in A \; \mid f(a) = b, g(a) = u$, lo que equivale a $b \in fg^{-1}(U)$. Por lo $\pi^{-1}f'(U) \cap B = fg^{-1}(U)$, que está abierto, como $g$ es continua y $f$ está abierto.