Mostrar grupo de orden $4n + 2$ tiene un subgrupo de índice 2.

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Demostrar que cualquier grupo de orden $4n + 2$ tiene un subgrupo de índice 2. (Sugerencia: Utilice izquierda regulares de la representación y del Teorema de Cauchy para obtener una permutación impar.)

Fácilmente se puede observar que el $\vert G \vert = 2(2n + 1)$ $2 \mid \vert G \vert$ y el 2 es primo. Hemos satisfecho la hipótesis de Cauchy Teorema por lo que podemos decir $G$ contiene un elemento de orden 2.

Esto es donde estoy atascado

Estoy confundido acerca de cómo la izquierda regular la representación se relaciona con el grupo. Así que mi comprensión en este punto es que cada grupo es isomorfo a un subgrupo de algún grupo simétrico. Mi pregunta: ¿la izquierda regular la representación de $\varphi : G \to S_G$ un isomorfismo? donde $G \cong S_G$ o es $S_G$ lo mismo que $S_{\vert G \vert}$ $\varphi$ es sólo una inyección? Estoy usando Dummit y Foote para las definiciones.

Vi un argumento en línea de la que dijo que ya tenemos un elemento de orden 2, hay un $\sigma \in S_G$ a de orden 2, pero es un producto de $2n + 1$ discontinuo de 2 ciclos. No entiendo cómo se puede reclamar esto y trató trabajando por mi cuenta, pero no llegó. -- A continuación pasó a utilizar la paridad en la asignación de $\varepsilon : S_G \to \{\pm1\}$ y ya tenemos una permutación impar $\sigma$,$[S_G:\text{ker }\varepsilon] = 2$. Entendí su cálculo, pero no el modo en que se muestra directamente que $G$ tiene un subgrupo de orden 2? a menos $G \cong S_G$ debido a la forma de izquierda a regular la representación se define. (pero, de nuevo, no estoy entendiendo que el concepto muy bien todavía.)

Así que, para ser claros acerca de mis preguntas:

1. ¿Qué se entiende por izquierda regulares de la representación, es un isomorfismo o simplemente una inyección? ¿y cómo sería utilizado aquí.
2. Si es un isomorfismo, el argumento en línea comienza a tener más sentido, pero ¿cómo pueden decir que desde $\sigma$ es incluso, se compone de $2n + 1$ discontinuo transposiciones?
3. Si usted tiene un completo, de prueba, se lo agradezco, pero los buenos consejos son igual de buenas!

Gracias!

Answer 1

Deje $G=\{g_1,\ldots,g_{4n+2}\}$. Para cualquier $g\in G$, definir $\sigma_g\in S_{|G|}$ como la permutación para que $\sigma_g(g_i) = g\cdot g_i$.

Paso 1. El conjunto de elementos de la $g\in G$ tal que $\operatorname{sign}(\sigma_g)=+1$ es un subgrupo de $G$, decir $H$.

Paso 2. Las únicas posibilidades para $|H|$ $|H|=|G|$ o $|H|=|G|/2$, ya que el "signo" es un homomorphism.

Paso 3. Por Cauchy del therem hay un $g\in G$ con el fin de $2$ (que es $g=g^{-1}$, lo $\sigma_{g}=\sigma_{g}^{-1}$). Desde $g\neq id$, $\sigma_g$ no tiene puntos fijos, sino $\sigma_g$ orden $2$$S_{|G|}$, por lo que es un producto de $(2n+1)$ discontinuo transposiciones. De ello se desprende que $\operatorname{sign}(\sigma_g)=-1$ y no podemos tener a $|H|=|G|$.

Answer 2

Aquí está una más general del teorema.

Teorema: Vamos a $G$ ser un grupo de orden $ 2^n m$ (donde $m,n \in \mathbb{N}$ ). Si $2 \nmid m$ $G$ tiene un elemento de orden $2^n$, entonces existe un subgrupo normal de $G$ orden $m$.

Prueba: empezamos con los siguientes hechos.

Hecho 1: Si $G$ es un grupo finito y $\pi : G \to S_G$ ser permutación representación del grupo de acción tal que $\pi_g (h) = gh$$g,h \in G$. Si $t$ es un elemento de orden y $|G|/ \text{ord} (t)$ es impar, a continuación, $ (\pi_ t)$ es una permutación impar.

Croquis de la prueba: se Observa que el $(\pi_t)$ es un producto de $|G|/\text{ord}(t)$ número de $\text{ord}(t)$-ciclos.Por lo $\text{sgn}(\pi_t) = -1$.

Hecho 2: Si existe un elemento $t$ $G$ tiene un subgrupo de índice $2$.

Croquis de la prueba: utilizamos un resultado. Deje $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo de $G$ de índice de $p$ donde $p$ es un número primo. Si $K \le G$, entonces cualquiera de las $K \le H$ o $[K : K \cap H] = p $. Desde $G \cong \pi(G)$, para demostrar el anterior hecho basta para mostrar que $\pi(G)$ tiene un subgrupo de índice $2$. En el mencionado resultado vamos a $H = A_G$ ($A_G$ es el subgrupo de incluso permutaciones) y $K = \pi(G)$. Desde $\pi(G)$ contiene una permutación impar nosotros puede no tener $\pi(G) \le A_G$. Así, obtenemos $[\pi(G) : \pi(G) \cap A_G] = 2$. Por lo $\pi(G) \cap A_G$ es nuestro subgrupo de $\pi(G)$ de índice de $2$ y el hecho está probado.

Ahora estamos listos para probar el teorema. Procedemos por inducción. Al $n = 1$, Cauchy teorema nos da un elemento de orden $2$, por lo que tenemos un subgrupo normal de orden $m$ (índice de $2$) por los anteriores resultados. Supongamos que es cierto para $n = k-1$, vamos a mostrar es cierto para $n=k$. Deje $t$ a ser el elemento de orden $2^k$. A continuación, por los resultados anteriores se deduce que hay un subgrupo de $H$ $G$ de índice de $2$, yo.e de la orden de $ 2^{k-1} m $. Por hipótesis de inducción no es un subgrupo normal $J$ $H$ que es de orden $m$. Pretendemos que $J$ es normal en $G$.

Desde $[G:H] = 2$, $H$ es normal en $G$. Vamos a utilizar un resultado que es fácil de probar. Si $ J\le H \le G$, $H$ es normal en $G$ $J$ es una característica de los subgrupos de $H$, $J$ es normal en $G$. Así que ahora que es suficiente para mostrar que $J$ es una característica de los subgrupos de $G$. Para mostrar que no es suficiente para demostrar que $J$ es el único subgrupo de $H$ orden $m$. Si no vamos a $P$ ser otro subgrupo de orden $m$$H$. Tenga en cuenta que tenemos $PJ= JP$$PJ \le H$. Tenemos $|PJ| = \frac{|P||J|}{|P\cap J|} = \frac{m^2}{|P \cap J|}$. Por lo $|PJ|$ es impar. Si $|P \cap J| < m$, $|PJ| >m$ y por lo tanto no se puede dividir $|H|$, contradiciendo del teorema de Lagrange. Así que debemos tener $|P \cap J| = m$, lo que implica la $P= J$. Ahora el teorema está completamente demostrado.

Answer 3

Considerar la izquierda regular la representación de $G$ -- $\varphi : G \to S_G$. Así que por Cayley del Teorema sabemos $\text{Im }\varphi \cong G$. Ahora, observa que el $\vert G \vert = 2(2n + 1)$ $2 \mid \vert G \vert$ y el 2 es primo. Hemos satisfecho la hipótesis de Cauchy Teorema por lo que podemos decir $G$ contiene un elemento de orden 2, se $g$. Ahora, por la propiedad de isomorfismo, podemos decir que existe $\sigma \in \text{Im }(\varphi)$ a de orden 2. Por otra parte $\sigma$ es un producto de $2n + 1$ discontinuo de 2 ciclos, una permutación impar, por la propiedad de $\sigma_g$ no tener puntos fijos, ya que $\sigma \neq 1$. Ahora considere el signo de asignación de $\varepsilon : \text{Im } (\varphi) \to \{\pm 1\}$. Esta asignación es surjective sice $\sigma \in \text{Im }(\varphi)$ $\varphi$ es impar. Ahora, por el Teorema Fundamental de Homomorphisms $\text{Im }(\varphi) /\text{ker }\varepsilon \cong \{\pm 1\} \cong \mathbb Z_2$. De ello se deduce inmediatamente que $[\text{Im }(\varphi) : \text{ker }\varepsilon] = 2$ o, equivalentemente,$[G: \text{ker } \varepsilon] = 2$. Por lo tanto podemos concluir que el $G$ tiene un subgrupo de índice 2.

Este argumento se puede generalizar para cualquier grupo de orden $2k$ $k$ impar.