¿Cómo pueden los cuaterniones de Hamilton ecuación sea verdadera?

Question

Estoy leyendo Ken Shoemake la explicación de los cuaterniones en David Eberly el libro de la Física del Juego. En él describe la $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ componentes de cuaterniones para todos igual $\sqrt{-1}$. Entonces los estados de cuaterniones de Hamilton ecuación:

$\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{ijk} = \mathbf{-1}$

Si $\mathbf{i} = \mathbf{j} = \mathbf{k} = \sqrt{-1}$, entonces tiene sentido cómo $\mathbf{i}^2 = \mathbf{-1}$. Pero $\mathbf{ijk}$ debe ser igual a $\mathbf{i}^3$, no $\mathbf{i}^2$. ¿Cómo se $\mathbf{ijk} = \mathbf{-1}$?

El libro de la notación dice que minúsculas letras en negrita denotan un vector, por lo que estoy pensando $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, y $\mathbf{k}$ como la base de los cuaterniones, similar a la base de un vector, y puede ser escrito $(\sqrt{-1}, \sqrt{-1}, \sqrt{-1})$. Tener el resultado de $\mathbf{ijk}$ como un audaz $\mathbf{-1}$ me da a entender que es el vector de la $(-1, -1, -1)$. Es este entendimiento correcto? En este contexto, ¿qué significa la plaza de vectores $\mathbf{i}$? Si es igual a otro vector, entonces la única operación que tiene sentido es la cruz del producto, pero el producto cruz de un vector y el vector cero.

Answer 1

Es que no es cierto que $i=j=k=\sqrt{-1}$. Sólo es cierto que $i^2=j^2=k^2=-1$.

Del mismo modo, es cierto que $(-2)^2=2^2=4$, pero eso no significa que $-2=2=\sqrt 4$.

De hecho, las fórmulas que se han escrito son los axiomas que forman los cuaterniones. Usted decide que usted se verá en la división de anillo (es decir, un anillo donde se puede dividir por todos los números, sino $0$) en los que usted ha $3$ diferentes números que todos los cuadrados de a $-1$ y que satisfacen la ecuación de $ijk=-1$. Que es como los cuaterniones son definidos. Y no, $ijk$ no debe ser igual a $i^3$, ya que, en realidad, $ij=k$, lo que significa que $ijk=kk=-1$, lo que encaja con sus fórmulas.

Answer 2

Debido a $\mathbf{jk} = \mathbf{i}$, lo $\mathbf{ijk} = \mathbf{i}\cdot\mathbf{i} = -1$. Esa es la forma en que está definido; $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ son los tres separar las cantidades, cada uno de cuyo cuadrado es igual a $-1$. La multiplicación es asociativa, pero no conmutativa.

Tenemos

$$ \mathbf{ij} = \mathbf{k}, \mathbf{ji} = -\mathbf{k} $$ $$ \mathbf{jk} = \mathbf{i}, \mathbf{kj} = -\mathbf{i} $$ $$ \mathbf{ki} = \mathbf{j}, \mathbf{ik} = -\mathbf{j} $$

Estas reglas pueden ser derivadas a partir de la ecuación de Hamilton. Siempre que la multiplicación se realiza de forma asociativa y con cuidado, la adhesión a dichas reglas, se evita el tipo de contradicción que usted describe.

El $-1$ en Hamilton ecuación es generalmente considerado como el ordinario valor escalar $-1$, a pesar de que uno puede escribir cuaterniones en general como $4$-tuplas, $(a, b, c, d)$ en representación $a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$.

Answer 3

En él describe la $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ componentes de cuaterniones para todos igual $\sqrt{-1}$.

A menos que él es la construcción de cuaterniones de los números complejos, no es $\sqrt{-1}$ disponible para ser comparado con nada.

Por el contrario, estas tres ecuaciones independientes $i^2 = -1, \quad j^2=-1, \quad k^2=-1$ que se utiliza como parte de la definición de una regla de la multiplicación en el 4-dimensional espacio vectorial generado por un conjunto de cuatro vectores diferentes a lo que son (arbitrariamente) que asigna los nombres de $1,i,j,k$. Hay muchos de la onu-muy interesante, la multiplicación de las reglas, tales como $x \ast y = x$ para todos los vectores $x,y$, pero Hamilton se encuentra mucho más interesante.

Entonces los estados de cuaterniones de Hamilton ecuación:

$\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{ijk} = \mathbf{-1}$

La ecuación de $ijk=-1$ es un mnenomic dispositivo para reproducir el conjunto completo de la definición de las ecuaciones, pero no es en sí mismo parte de la definición.

Hay 4x4=16 productos de los pares ordenados de los generadores, y todos ellos necesitan ser especificados con el fin de definir la multiplicación. Aquí sólo 3 productos de pares, y se supone que uno debe deducir el resto de $ijk=-1$ multiplicando la ecuación a la izquierda o a la derecha por $i,j$ $k$ en todas las formas posibles, suponiendo que la asociatividad, y la aplicación de los tres anteriores reglas.

Las otras normas de cuaterniones multiplicación se $1x = x1 = x$ todos los $x$; el $i,j,k$ anticommute cuando distintos pares se multiplican (por lo $ij = -ji$ et cetera); y permutaciones cíclicas de $ij = k$.

Esta multiplicación de la ley es lineal en cada variable, distributiva, asociativa, no conmutativa, y (más inusual) cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo.

Pero $\mathbf{ijk}$ debe ser igual a $\mathbf{i}^3$, no $\mathbf{i}^2$.
¿Cómo se $\mathbf{ijk} = \mathbf{-1}$?

Por ejemplo, $ijk = i(jk) = i(i) = -1$.

El libro de la notación dice que minúsculas letras en negrita denotan un vector, por lo que estoy pensando $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, y $\mathbf{k}$ como la base de los cuaterniones, similar a la base de un vector,

Son 3 de los 4 vectores de la base. Todos los cuaterniones tiene una única expresión como1 + bi + cj + dk para algunos números de $a,b,c,d$.

Tener el resultado de $\mathbf{ijk}$ como un audaz $\mathbf{-1}$ me da a entender que es el vector de la $(-1, -1, -1)$.

Es el vector (-1)1 , donde -1 es un número real y la negrita 1 es una de las bases de los elementos de los cuaterniones como un espacio vectorial.

En este contexto, ¿qué significa la plaza de vectores $\mathbf{i}$?

El uso de Hamilton de la multiplicación de la ley para multiplicar el vector por sí mismo. El resultado será, por construcción, ser igual que algunos otros de cuaterniones. Los cuaterniones que es igual a pasa a ser (-1)1, también conocido como -1.