Tensor de productos conmutar directa con los límites

Question

Este es el Ejercicio 2.20 en Atiyah-Macdonald.

¿Cómo podemos demostrar que $\varinjlim (M_i \bigotimes N) \cong (\varinjlim M_i) \bigotimes N$ ? Atiyah da una sugerencia, nos dice que uno debe obtener un mapa $g \colon (\varinjlim M_i )\N \longrightarrow \varinjlim (M_i \bigotimes N)$, pero no sé cómo hacerlo.

Gracias.

Answer 1

Es una forma de utilizar la contigüidad de la propiedad del producto tensor. Para cualquier $R$-módulo $P$, tenemos la siguiente secuencia de canonical $R$-módulo isomorphisms:

$$\begin{eqnarray}\hom(\varinjlim(M_i \otimes N), P) \cong&& \varprojlim \hom(M_i \otimes N, P) \\ \cong && \varprojlim \hom(N, \hom(M_i, P)) \\ \cong && \hom(N, \varprojlim \hom(M_i, P)) \\ \cong&& \hom(N,\hom(\varinjlim M_i, P)) \\ \cong&& \hom((\varinjlim M_i) \otimes N, P)\end{eqnarray}$$

y por lo tanto $$\hom(\varinjlim(M_i \otimes N), -) \cong \hom((\varinjlim M_i) \otimes N, -).$$

Por el Yoneda lema, $$\varinjlim(M_i \otimes N) \cong (\varinjlim M_i) \otimes N.$$

Por supuesto, no he hecho uso de las propiedades del producto tensor, distintos a los de su izquierda-adjointness. El mismo argumento muestra que un functor que está a la izquierda adjunto desplazamientos directa con los límites. Doblemente, un functor que está a la derecha adjunto desplazamientos con inversa límites.

La prueba de que A&M sugieren que es básicamente una versión ampliada de la misma argumento - a ver si se puede averiguar!

Anexo: yo no voy a escribir las pruebas detalladas a partir de primeros principios (que es mucho), pero voy a ampliar un poco sobre la pista en Un&M. Aquí está la sugerencia de como es en mi edición, donde se escribe $P=\varinjlim(M_i \otimes N)$ y $M=\varinjlim M_i$:

[...] Por cada $i\in I$, vamos a $g_i:M_i \N\M_i\otimes$ N por la canónica mapeo bilineal. Pasando el límite se obtiene una asignación de $g: M\times N \a P$. Demostrar que $g$ es $Una$-bilineal y por lo tanto define un homomorphism $\phi: M\otimes N \a P$. Compruebe que $\psi\circ \phi$ y $\phi \circ \psi$ son la identidad de las asignaciones.

Aquí $\phi: P \M\otimes$ N se ha definido anteriormente como el límite de todos los canónica homomorphisms $\mu_i\otimes 1 : M_i\otimes N \M \otimes N$ donde $\mu_i$ es la canónica homomorphism $M_i \a M$.

Es una muy buena sugerencia! La única dificultad es la parte en negrita. No sabemos cómo tomar el límite de los $M_i \times N$ porque estamos no teniendo en cuenta los $R$-módulos en la construcción del producto tensor. Estamos considerando $M_i \times N$ como un dominio adecuado para bilineal mapas. Obtención del mapa de $\psi$ será hecho en un par de etapas:

1. Obtener bilineal mapas de $M_i \N \a P$ por componer $g_i$ con la canónica homomorphism $M_i\otimes N \a P$;
2. Convertir estos homomorphisms $M_i \a \hom(N,P)$ utilizando el hecho de que un bilineal mapa de $M_i \N \a P$ es la misma cosa como la familia de homomorphism $N \a P$ parametrizadas $R$lineal de los elementos de $M_i$;
3. Mostrar que la homomorphisms $M_i \a \hom(N,P)$ así obtenidas se conmuta con la estructura de los mapas de $\mu_i$ de el sistema directo de los $M_i$'s, y por lo tanto obtener un homomorphism $M \a \hom(N,P)$ por el universal propiedad del contacto directo con el límite.
4. Convertir este homomorphism de nuevo a un bilineal mapa $M \times N \a P$. Uso de la característica universal del producto tensor para el factor de este mapa a través de $M\otimes N \a P$, que es el $\psi$ que usted necesita.

A continuación, debe comprobar que $\psi$ y $\phi$ son inversos el uno al otro.

Answer 2

He aquí una idea para una prueba de que no se trata de Yoneda:

Para mostrar $(\varinjlim M_n) \otimes N \cong \varinjlim(M_n \otimes N)$ es suficiente para comprobar que $(\varinjlim M_n) \otimes $ N satisface la característica universal de $\varinjlim(M_n \otimes N)$. Esto significa que, si $(M_n, f_{nm})$ es el sistema con límite de $(\varinjlim M_n, f_n)$ y $(Y, g_n)$ es $R$-módulo tal que $g_n = g_m \circ (f_{nm} \otimes id_N)$ para todo $n \geq m$ entonces existe un único homomorphism $\alpha : (\varinjlim M_n) \otimes N \a Y$ tal que el siguiente diagrama conmuta (diagonal flechas omitido):

$$\begin{matriz} (\varinjlim M_n) \otimes N & \xrightarrow{\alpha} & Y \\ \left\uparrow{f_n \otimes id_N}\vphantom{\int}\right. & & \left\uparrow{g_m}\vphantom{\int}\right.\\ M_n \otimes N& \xrightarrow{f_{nm} \otimes id_N} & M_m \otimes N \end{matriz}$$

Definir $\alpha$ de la siguiente manera: por $m \otimes n \(\varinjlim M_n) \otimes N $ existen $k$ y $m_k \en M_k$ tales que $f_k(m_k) = m$. Conjunto $\alpha (m \otimes n) = g_k (m_k \otimes n)$. Necesitamos demostrar que $\alpha$ está bien definido, un $R$-módulo homomorphism, hace que el diagrama de recorrido y es único.

(i) $\alpha$ está bien definido: Dejar que $k,j$ tales que $f_k \otimes id_N (m_k \otimes n) = m \otimes n = f_j \otimes id_N (m_j \otimes n)$.

Queremos demostrar que $g_k (m_k \otimes n) = g_j (m_j \otimes n)$. Ya tenemos $f_k (m_k) \otimes n = m \otimes n = f_j (m_j ) \otimes n $ tenemos $f_k (m_k) = f_j (m_j)$. Esto significa que $m_k$ y $m_j de dólares se asignan a la misma cosa en $\varinjlim M_n$ por lo tanto, por las propiedades de $\varinjlim M_n$ existe $l \geq j,k$ que $f_{kl}(m_k) = f_{jl}(m_j)$. Para los morfismos de $Y$ tenemos que $g_i = g_j \circ (f_{ij} \otimes id_N)$ donde $i \leq j$ por lo tanto (como se ha señalado por t.b. en los comentarios): $$\begin{align} g_k (m_k \otimes n) &= g_l \circ (f_{kl} \otimes id_N) (m_k \otimes n) \\ &= g_l (f_{kl} (m_k) \otimes n) \\ &= g_l (f_{jl} (m_j) \otimes n) \\ &= g_l \circ (f_{jl} \otimes id_N) (m_j \otimes n) \\ &= g_j (m_j \otimes n) \end{align}$$

(ii) $\alpha$ es un $R$-módulo homomorphism, es decir, $\alpha (m \otimes n + m^\prime \otimes n^\prime) = \alpha (m \otimes n) + \alpha (m^\prime \otimes n^\prime$:

Por $m \otimes n, m^\prime \otimes n^\prime \(\varinjlim M_n) \otimes N$ existen $j,k$ que $m \otimes n = f_{k}(m_k) \otimes n$ y $f_{j} (m_j) \otimes n^\prime$ de modo que $\alpha (m \otimes n) = g_k (m_k \otimes n)$ y $\alpha (m^\prime \otimes n^\prime) = g_j(m_j \otimes n^\prime $. A continuación, para todos $l \geq k,j$: $g_j(m_j \otimes n^\prime) = g_l (f_{jl}(m_j) \otimes n^\prime$, lo mismo para $k$ y por lo tanto $$ \alpha (m \otimes n) + \alpha (m^\prime \otimes n^\prime) = g_k(m_k \otimes n) + g_j(m_j \otimes n^\prime) = g_l (f_{kl}(m_k) \otimes n) + g_l (f_{jl}(m_j) \otimes n^\prime) = g_l(f_{kl}(m_k) \otimes n + f_{jl}(m_j) \otimes n^\prime$$

Por otro lado, para $m \otimes n + m^\prime \otimes n^\prime$ existe $i$ tales que $m \otimes n + m^\prime \otimes n^\prime = f_i(m_i) \otimes n+ f_i(m_i^\prime \otimes n^\prime$ y por tanto $\alpha (m \otimes n + m^\prime \otimes n^\prime) = g_i (m_i \otimes n + m_i^\prime \otimes n^\prime) = g_i (m_i \otimes n) + g_i (m_i^\prime \otimes n^\prime) = \alpha (m \otimes n) + \alpha (m^\prime \otimes n^\prime$.

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Pruebas alternativas:

Es más fácil de demostrar como este: explotar el ARRIBA de $\varinjlim(M_n \otimes N)$ para obtener un único $R$-módulo homomorphism $\alpha$ y, a continuación, mostrar que $\alpha$ es un isomorfismo. Para ello, considere el siguiente diagrama:

$$\begin{matriz} \varinjlim (M_n \otimes N) & \xrightarrow{\alpha} & (\varinjlim M_n ) \otimes N \\ \left\uparrow{f_n \otimes id_N}\vphantom{\int}\right. & & \left\uparrow{f_m \otimes id_N}\vphantom{\int}\right.\\ M_n \otimes N& \xrightarrow{f_{nm} \otimes id_N} & M_m \otimes N \end{matriz}$$

Desde el diagrama de desplazamientos sigue inmediatamente que $\alpha$ es el mapa $m \otimes n \mapsto m \otimes n$, que es un isomorfismo.