¿Podemos reescribir siempre una distribución sesgada a la derecha en términos de composición de una distribución arbitraria y una simétrica?

Question

Consideremos una distribución simétrica y dos veces diferenciable $\mathcal{F}_X$ . Consideremos ahora una segunda distribución dos veces diferenciable $\mathcal{F}_Z$ en el sentido de que..:

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

donde $\preceq_c$ es la ordenación convexa de van Zwet [0] de modo que $(1)$ es equivalente a:

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $ \ para todo xin\mathbb{R}. $}$$

Consideremos ahora una tercera distribución dos veces diferenciable $\mathcal{F}_Y$ satisfactoria:

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Mi pregunta es: ¿podemos encontrar siempre una distribución $\mathcal{F}_Y$ y una distribución simétrica $\mathcal{F}_X$ para reescribir cualquier $\mathcal{F}_Z$ (los tres definidos como arriba) en términos de una composición de $\mathcal{F}_X$ y $\mathcal{F}_Y$ como:

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

¿o no?

Edita:

Por ejemplo, si $\mathcal{F}_X$ es el Weibull con parámetro de forma 3,602349 (para que sea simétrico) y $\mathcal{F}_Z$ es la distribución de Weibull con el parámetro de forma 3/2 (de modo que está sesgada a la derecha), obtengo

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

estableciendo $\mathcal{F}_Y$ como la distribución de Weibull con parámetro de forma 2,324553. Obsérvese que las tres distribuciones satisfacen:

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ Según las necesidades. Me pregunto si esto es cierto en general (en las condiciones indicadas).

• [0] van Zwet, W.R. (1979). Media, mediana, moda II (1979). Statistica Neerlandica. Volumen 33, Número 1, páginas 1--5.

Answer 1

¡No!

Un contraejemplo sencillo es el de Tukey $g$ (el caso especial para $h=0$ del Tukey $g$ y $h$ distribución).

Por ejemplo $\mathcal{F}_X$ sea el Tukey $g$ con el parámetro $g_X=0$ y $\mathcal{F}_Z$ sea el Tukey $g$ con el parámetro $g_Z>0$ y $\mathcal{F}_Y$ a Tukey $g$ distribución para la que $g_Y\leq g_Z$ . Desde $h=0$ estas tres distribuciones satisfacen:

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(el primero procede de la definición del Tukey $g$ que es simétrica si $g=0$ los siguientes de [0], Teorema 2.1(i)).

Por ejemplo, para $g_Z=0.5$ Tenemos eso:

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(por alguna razón, el mínimo parece estar siempre cerca de $g_Y\approx g_Z/2$ ).

• [H.L. MacGillivray Propiedades de forma de las familias g-y-h y Johnson. Comm. Statist.-Theory Methods, 21 (5) (1992), pp. 1233-1250

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Edita:

En el caso de Weibull, la afirmación es cierta:

Sea $\mathcal{F}_Z$ sea la distribución de Weibull con el parámetro de forma $w_Z$ (el parámetro de escala no afecta a la ordenación convexa, por lo que podemos fijarlo en 1 sin pérdida de generalidad). Del mismo modo, $\mathcal{F}_Y$ , $\mathcal{F}_X$ y $w_Y$ y $w_X$ .

Obsérvese en primer lugar que tres distribuciones Weibull cualesquiera pueden ordenarse siempre en el sentido de [0].

A continuación, tenga en cuenta que: $$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Ahora, para el Weibull:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

para que

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

desde

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Por lo tanto, la demanda siempre puede satisfacerse estableciendo $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$ .

• [0] van Zwet, W.R. (1979). Media, mediana, moda II (1979). Statistica Neerlandica. Volumen 33, Número 1, páginas 1--5.
• [1] Groeneveld, R.A. (1985). Skewness for the weibull family. Statistica Neerlandica. Volumen 40, número 3, páginas 135-140.