Diferencia entre el $\partial$ $\nabla$ en la relatividad general

Question

He leído mucho en el Camino a la Realidad, por lo que creo que podría utilizar algunos teoría general de la relatividad de los términos donde solamente debo especiales.

En nuestras charlas tuvimos $\partial_\mu$ que tendría la llanura parciales diferenciales. En un conjunto de problemas, la identidad de Bianchi para la Maxwell campo tensor es dada como: $$ \partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\beta} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0. \etiqueta{1} $$

En el libro de Penrose, esta identidad está dada como

$$\nabla_{[a} R_{bc]d}{}^e = 0\tag{2}$$

donde los corchetes indican el antisymmetrisation como en la forma anterior. Son los corchetes notación estándar de la Física?

Desde $\partial_\mu$ es básicamente la $(\partial_t, \nabla)$ es un covector o vector covariante. Penrose llama a esto $\nabla_a$ la derivada covariante (algo con una conexión y la curva de colectores en la medida de lo que he entendido). Si estoy en un no-curvo $\mathbb M$ Minkowski $(1, 3)$ espacio donde no tengo curvatura (desde $\eta_{\mu\nu}$$\mathop{\mathrm{diag}}(1, -1, -1, -1)$?), Estaba pensando en eso $\partial_\mu = \nabla_\mu$. Puedo escribir $\nabla_\mu$ lugar de mi derivadas parciales o significan algo diferente?

Answer 1

Son los corchetes notación estándar de la Física?

Sí. Véase, por ejemplo, Sean Carroll notas. Al menos puedo decir de otras dos referencias clásicas que el uso de la notación, "teoría General de la Relatividad" de Wald (1984) y "Una Primera Introducion a la Relatividad General" por Schutz (2009 por la edición más reciente)
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Si estoy en un no-curvo $\mathbb M$ Minkowski $(1, 3)$ espacio donde no tengo curvatura (desde $\eta_{\mu\nu}$$\mathop{diag}(1, -1, -1, -1)$?), Yo estaba thingking que $\partial_\mu = \nabla_\mu$. Puedo escribir $\nabla_\mu$ lugar de mi derivadas parciales o significan algo diferente?

Usted las puede utilizar indistintamente en ese caso. Sin embargo, NO se si cambiar a la no-coordenadas cartesianas (por ejemplo, coordenadas Esféricas), porque en ese caso la conexión de los coeficientes son distintos de cero, en general, incluso en la ausencia de curvatura, y así la covariante derivados pueden diferir de los corrientes derivadas parciales, incluso en el espacio plano.

Yo simplemente evitar la mezcla de los símbolos o, en el futuro, le costó un poco de esfuerzo extra para deshacer el hábito, cuando se aprende acerca de los recursos genéticos y los espacios curvos.

Estas son las definiciones:

$\partial_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}$

$\nabla_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}V^{\alpha} $

El llamado de la conexión de los coeficientes son los $\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}$. Su definición consiste en una cierta combinación de derivadas parciales de los elementos de la métrica. En un espacio plano y las coordenadas cartesianas se puede ignorar: son cero debido a que los elementos de la métrica son todas constante números, $(1,-1,-1,-1)$. Esto no significa sin embargo, que son cero en Especial de la Relatividad en general: los elementos de la diagonal del tensor métrico en coordenadas esféricas por ejemplo, son funciones de las coordenadas, es decir, $(1, -1, -r^2, -r^2 sin^2 \theta)$ aunque el espacio es plano.

Si usted está interesado en conseguir utilizado a covariante derivados y tensor de cálculos en general, sin necesidad de invertir demasiado esfuerzo, le sugiero el último capítulo (especialmente los problemas resueltos) de los clásicos, el pequeño libro "Cálculo Vectorial" (M. R. Spiegel) de la serie Schaum. Y, para conseguir una sensación de que el significado geométrico de la conexión de los coeficientes de google para "Transporte Paralelo". El Schutz libro mencionado anteriormente tiene también una muy buena explicación.