La singularidad de los elementos en Klein Cuatro y "Klein Cinco" grupo de

Question

Yo tenía una pregunta acerca de la singularidad de los elementos del grupo.

Deje que el Klein Cuatro grupo se define como el grupo generado por los elementos de a ${1,a,b,c}$ tal que $a^2=b^2=c^2=1$ y $ab=c$, $bc=a$, $ca=b$, y $1$ es el elemento de identidad.

Deje que el "Klein Cinco" grupo se define como el grupo generado por los elementos de a ${1,a,b,c,d}$ tal que $a^2=b^2=c^2=d^2=1$ y $ab=c$, $bc=d$, $cd=a$, $da=b$, y $1$ es el elemento de identidad.

Si me manipular los símbolos de la "Klein Cinco" grupo I se define anteriormente, puedo mostrar cada elemento es equivalente a la identidad. De $ab=c=ad$ puedo ver $a$ es la identidad, de $bc=d=ba$ puedo ver $b$ es la identidad, y así sucesivamente. Esto le da a ese $a=b=c=d=1$. En cierto sentido, este grupo no parece existir. No puedo hacer que un grupo tal que $a \neq b \neq c \neq d \neq 1$ con las restricciones anteriores.

¿Cómo puedo saber que el mismo no es cierto para el Klein Cuatro grupo? ¿Cómo sé que no hay algún conjunto de restricciones que hace que el grupo de "inexistente" para elementos singulares de la misma manera como el "Klein Cinco" del grupo?

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Usted puede escribir la lista completa de los elementos y la tabla de multiplicación de los Klein Cuatro grupo, y comprobar que realmente satisface el grupo de axiomas (y que $1$, $a$, $b$, $c$, son elementos distintos y, en realidad, son todos los elementos del grupo). Si usted trató de hacer esto con la "Klein Cinco" del grupo, tendría que ejecutar en problemas: para cualquier tabla de multiplicación has probado a escribir con $1$, $a$, $b$, $c$, y $d$ como distintos elementos que satisfacen las ecuaciones, que no iba a satisfacer el grupo de axiomas (por el argumento de que dar).

En general, sin embargo, es muy difícil problema para identificar si una presentación a un grupo (es decir, una lista de generadores y relaciones entre ellos) se describe sólo el trivial grupo. De hecho, es tan difícil que puede resultar es irresoluble en general, en el sentido de que no existe ningún algoritmo que toma un número finito de presentación de un grupo y decide si el grupo es trivial (esta es una variante del llamado "problema de palabras").

Answer 2

En caso de que no les entusiasma la idea de escribir una multiplicación de la tabla y verificar que cumple el grupo de axiomas (comprobación de la asociatividad, en particular, es tedioso, incluso para un $4 \times 4$ tabla, y poco práctico para algo mucho más grande que eso), otro enfoque es el de la exhibición de la Klein cuatro grupo como un subgrupo de un grupo existente.

Por ejemplo, consideremos el conjunto $GL_2(\mathbb R)$ de los invertible $2\times 2$ matrices, que forman un grupo bajo la multiplicación. A continuación, compruebe que el conjunto $$\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \right\}$$ es cerrado bajo la multiplicación y la recíproca, y por lo tanto es un subgrupo de $GL_2(\mathbb R)$. A continuación, compruebe que cumple las condiciones que definen el Klein 4-grupo.