Una forma "rápida" de encontrar la suma de los números de $1$ a $100$ que no son divisibles por $3$ y $5$

Question

Hallar la suma de los números de $1$ a $100$ que no son divisibles por $3$ y $5$ ?

Puedo entender que el aquí requerimos sumar estos números:

$1+2+4+7+8+11+13+14+16+17+19+22+23+26+28+29+31+32+34$ $+37+38+41+43+44+46+47+49+52+53 +56+58+59+61+62+64+67+68+71$ $+73+74+76+77+79+82+83+86+88+89+91+92+94+97+98$

Lo que da la suma $= 2632$ pero no tengo ninguna relación entre los números de esta serie, ¿alguna idea? Además, se supone que debo hacer esto bajo una menta así que por favor sugerencia / respuesta en consecuencia.

Answer 1

La suma de los números que son divisibles por $3$ en este rango es $$ 3+6+\cdots+99=3(1+2+\cdots+33) $$ y de la misma manera la suma de los divisibles por $5$ es $$ 5+10+\cdots+100=5(1+2+\cdots+20). $$ Debes conocer una fórmula rápida para sumar estas dos sumas. Ten cuidado de sumar todos los números que sean divisibles por $15$ ya que se han restado dos veces. Gracias a Gauss, sabemos que la suma de la primera $100$ enteros es $5050$ y después de hacer la aritmética se obtiene la respuesta.

Answer 2

Pista: Primero intenta encontrar la suma de los números que son divisibles por $3$ o $5$

Answer 3

Hay algo que se llama inclusión-exclusión que puedes usar: suma todos los enteros hasta 100, quita los que sean divisibles por 3, quita los que sean divisibles por 5, y luego suma los que sean divisibles por 15. =)

Answer 4

Se trata de un argumento combinatorio llamado Principio de inclusión-exclusión : $$X=1+\ldots+100 - 3(1+\ldots+33) - 5(1+\ldots+20) + 15(1+\ldots+6)$$

Primero sumamos todos los números, luego quitamos todos los que son divisibles por $3$ y los divisibles por $5$ . Pero, ¡espera un momento! ¿Qué pasa con $15$ ? Hemos eliminado ese número dos veces ¡! Por lo tanto, tenemos que añadirlo una vez, así como el resto de sus múltiplos a continuación $100$ .

Ahora usando la fórmula de la suma: $1+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ la respuesta es la siguiente.