Mi propia (y no siempre del todo exitosa...) intento de recordar el lema y su prueba es el siguiente:
Si $u$ satisface (diferencial o integral) de la desigualdad del tipo apropiado, entonces esto limita el crecimiento de $u$ de tal manera que $u$ puede llegar a ser en la mayoría de los tan grande como la función de $y$ que satisface la correspondiente igualdad.
(Esta función $y$ es, por así decirlo, empujando su tasa de crecimiento al máximo, dentro de los límites impuestos por la desigualdad. Cualquier otra función que se $u$, que no utiliza toda la libertad que tiene para el cultivo, va a terminar menor que $y$.)
Así que veamos primero el caso de la igualdad. Por ejemplo (para tomar la variante específica del lema que usted ha mencionado), supongamos $y(t)$ satisface la ecuación integral
$$
y(t) = a(t) + \int_0^t b(s) \, y(s) \, ds
.
\etiqueta{*}
$$
Podemos resolver esto a través de la reescritura como una ODA (con condición inicial) para la integral $I(t)=\int_0^t b(s) \, y(s) \, ds$ que aparece en el lado derecho:
$$
I'(t) = b(t) \, y(t) = [\text{de acuerdo a (*)}] = b(t) \, \bigl( a(t) + I(t) \bigr)
,\qquad
I(0)=\int_0^0 b(s) \, y(s) \, ds=0
.
$$
En otras palabras:
$$I'(t) - b(t) \, I(t) = a(t) \, b(t)
,\qquad
I(0)=0
.
$$
Multiplicar por el factor de integración $e^{-B(t)}$ donde $B(t)=\int_0^t b(s) \, ds$ es una antiderivada de $b$. Esto le da
$$
\frac{d}{dt}\Bigl( I(t) \, e^{-B(t)} \Bigr) = a(t) \, b(t) \, e^{-B(t)}
,\qquad
I(0)=0
.
$$
Integrar esta de$0$$t$, para obtener
$$
I(t) \, e^{-B(t)} - \underbrace{I(0)}_{=0} \, e^{-B(0)} = \int_0^t(s) \, b(s) \, e^{-B(s)} \, ds
,
$$
es decir,
$$
I(t) = \int_0^t(s) \, b(s) \, e^{B(t)-B(s)} \, ds
.
$$
Ahora hemos encontrado la solución a $y(t) = a(t) + I(t)$ a la integral de la ecuación (*):
$$
y(t) = a(t) + \int_0^t(s) \, b(s) \, e^{B(t)-B(s)} \, ds
.
\etiqueta{**}
$$
A continuación, el de la desigualdad. Supongamos que
$$
u(t) \le(t) + \int_0^t b(s) \, u(s) \, ds
.
\etiqueta{***}
$$
Deje $J(t) = \int_0^t b(s) \, u(s) \, ds$ ser la integral que aparece en el lado derecho. Satisface
$J'(t) = b(t) \, u(t)$. Por supuesto, tenemos $u \le a+J$, por lo que siempre que la condición adicional de $b\ge 0$ está satisfecho llegamos $bu \le b(a+J)$, por lo que
$$
J'(t) \le b(t) \, \bigl( a(t) + J(t) \bigr)
.
$$
Ahora (suponiendo que también se $t \ge 0$) podemos ir a través de exactamente los mismos pasos anteriores, pero con $\le$ en lugar de $=$, y, a continuación, que, por supuesto, terminan con el mismo resultado, excepto que obtenemos $\le$ en lugar de $=\,$:
$$
u(t) \le(t) + \int_0^t(s) \, b(s) \, e^{B(t)-B(s)} \, ds
.
\etiqueta {****}
$$
En otras palabras, $u(t) \le y(t)$$t \ge 0$, que es lo que queríamos demostrar.
