¿Cómo demostramos que algo es indemostrable?

Question

He leído en algún sitio que hay algunos teoremas que se demuestran como "indemostrables". Fue hace tiempo y no recuerdo los detalles, y sospecho que esta pregunta puede ser el resultado de un malentendido total. Por cierto, supongo que teorema indemostrable existe. Por favor, corríjanme si me equivoco y no lean el resto.

Por lo que sé, los enunciados matemáticos se clasifican en: conceptos indefinidos, definiciones, axiomas, conjeturas, lemas y teoremas. Es posible que haya otros tipos que desconozco como aficionado a las matemáticas. En esta categorización, un axioma es algo que no se puede construir sobre otras cosas y es demasiado obvio para ser demostrado (¿lo es?). Así que los axiomas son indemostrables. Un teorema o lema es en realidad una conjetura que se ha demostrado. Así que "un teorema que no se puede demostrar" suena como una paradoja.

Sé que hay algunas afirmaciones que no se pueden demostrar simplemente porque son erróneas. No me refiero a ellas porque no son teoremas . Entonces, ¿qué significa que un teorema es indemostrable? ¿Significa que no puede demostrarse con las herramientas matemáticas actuales y que puede demostrarse en el futuro con herramientas más avanzadas que aún no se han descubierto? Entonces, ¿por qué no lo llamamos conjetura? Si no se puede demostrar en absoluto, entonces es mejor llamarlo axioma.

Otra pregunta es, ¿cómo podemos estar seguros de que un teorema no puede ser demostrado ? Estoy asumiendo que la descripción podría ser alguna lógica de alto nivel que está muy por encima de mi comprensión. Así que le agradecería que lo pusiera en palabras sencillas.

Edit- Gracias a un comentario de @user21820 acabo de leer otros dos posts interesantes, este y este que son relevantes para esta cuestión. Recomiendo a todos que les echen un vistazo también.

Answer 1

Cuando decimos que un enunciado es "indemostrable", queremos decir que es indemostrable a partir de los axiomas de una teoría concreta.

He aquí un buen ejemplo concreto. Euclides Elementos el ejemplo prototípico de la matemática axiomática, comienza enunciando los siguientes cinco axiomas:

Dos puntos cualesquiera pueden ser unidos por una línea recta

Cualquier segmento de línea recta finita puede extenderse para formar una línea infinita.

Para cualquier punto $P$ y la elección del radio $r$ podemos formar un círculo centrado en $P$ de radio $r$

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

[El postulado paralelo:] Si $L$ es una línea recta y $P$ es un punto que no está en la línea $L$ entonces hay como máximo una línea $L'$ que pasa por $P$ y está en paralelo a $L$ .

Euclides procede a derivar gran parte de la geometría plana clásica a partir de estos cinco axiomas. Este es un punto importante. Una vez enunciados estos axiomas, Euclides no apela a nuestra intuición natural para los conceptos de "línea", "punto" y "ángulo", sino que se limita a dar pruebas que pueden deducirse únicamente a partir de los cinco axiomas.

Es concebible que puedas elaborar tu propia teoría con "puntos" y "líneas" que no se parezcan en absoluto a puntos y líneas. Pero si pudieras demostrar que tus "puntos" y "líneas" obedecen a los cinco axiomas de Euclides, entonces podrías interpretar todos sus teoremas en tu nueva teoría.

En los dos mil años que siguieron a la publicación del Elementos Una pregunta importante que surgió fue: ¿necesitamos el quinto axioma? El quinto axioma -conocido como el postulado paralelo- parece menos intuitivo que los otros cuatro: si pudiéramos encontrar una forma de deducir el quinto axioma a partir de los cuatro primeros, entonces sería superfluo y podríamos dejarlo fuera.

Los matemáticos intentaron durante milenios encontrar una forma de deducir el postulado del paralelo a partir de los cuatro primeros axiomas (y estoy seguro de que hay bromistas que siguen intentándolo ahora), pero no lo consiguieron. Poco a poco, empezaron a tener la sensación de que podría ser imposible demostrar el postulado del paralelo a partir de los cuatro primeros axiomas. Pero, ¿cómo se demuestra que algo es indemostrable?

El enfoque correcto lo encontraron independientemente Lobachevsky y Bolyai (y posiblemente Gauss) en el siglo XIX. Tomaron los cuatro primeros axiomas y sustituyeron el quinto por el siguiente:

[Postulado del paralelo hiperbólico:] Si $L$ es una línea recta y $P$ es un punto que no está en la línea $L$ entonces hay al menos dos líneas que pasan por $P$ y son paralelos a $L$ .

Este axioma es claramente incompatible con el postulado original del paralelo. Lo notable es que existe una teoría geométrica en la que los cuatro primeros axiomas y el postulado paralelo modificado son verdaderos.

La teoría se llama geometría hiperbólica y trata de puntos y líneas inscritas en la superficie de un hiperboloide :

En la parte inferior derecha de la imagen de arriba, puedes ver un par de líneas paralelas hiperbólicas. Fíjate en que son divergentes entre sí.

Los cuatro primeros axiomas se mantienen (y puedes comprobarlo), pero ahora si $L$ es una línea y $P$ es un punto que no está en $L$ entonces hay infinitamente muchos líneas paralelas a $L$ de paso $P$ . Así que el postulado original del paralelo no se sostiene.

Esto nos permite ahora demostrar muy rápidamente que es imposible demostrar el postulado de la paralela a partir de los otros cuatro axiomas: en efecto, supongamos que existiera tal demostración. Dado que los cuatro primeros axiomas son verdaderos en la geometría hiperbólica, nuestra demostración induciría una demostración del postulado de la paralela en el entorno de la geometría hiperbólica. Pero el postulado de las paralelas no es verdadero en la geometría hiperbólica, así que esto es absurdo.

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Este es un método importante para demostrar que las afirmaciones son indemostrables en diversas teorías. De hecho, un teorema de Gödel (el teorema de completitud de Gödel) nos dice que si una afirmación $s$ en el lenguaje de alguna teoría axiomática $\mathbb T$ es indemostrable entonces hay siempre alguna estructura que satisfaga los axiomas de $\mathbb T$ en el que $s$ es falso. Por lo tanto, mostrar que $s$ es indemostrable a menudo equivale a encontrar tal estructura.

También es posible mostrar que las cosas son indemostrables utilizando un argumento combinatorio directo sobre los axiomas y las reglas de deducción que se permiten en su lógica. No voy a entrar en eso aquí.

Probablemente te interesen cosas como el teorema de incompletitud de Gödel, que dice que hay afirmaciones que son indemostrables en una teoría particular llamada teoría de conjuntos ZFC, que a menudo se utiliza como fundamento de todas las matemáticas (nota: de hecho, hay muchas matemáticas que no pueden expresarse en ZFC, por lo que todo no es realmente correcto aquí). Esta situación no difiere en absoluto del ejemplo geométrico que he dado anteriormente:

Si una determinada afirmación no es demostrable ni refutable a partir de los axiomas de todas las matemáticas significa que existen dos estructuras, ambas interpretan los axiomas de todas las matemáticas En uno de ellos la afirmación es verdadera y en el otro es falsa.

A veces tenemos ejemplos explícitos: un problema importante en el cambio de siglo fue la Hipótesis de continuidad . El problema se resolvió en dos pasos:

• Gödel dio una estructura que satisfacía los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC en la que la Hipótesis del Continuo era verdadera.
• Posteriormente, Cohen dio una estructura que satisfacía los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC en la que la Hipótesis del Continuo era falsa.

Entre ellos, estos resultados muestran que la Hipótesis del Continuo no es, de hecho, ni demostrable ni refutable en la teoría de conjuntos ZFC.

Answer 2

En primer lugar, en la siguiente respuesta me he permitido (en contra de mi naturaleza general) centrar mis esfuerzos en la simplicidad, más que en la corrección formal.

En general, creo que la forma de enseñar el concepto de axiomas es bastante desafortunado. Mientras que tradicionalmente los axiomas se consideraban afirmaciones que son -de alguna manera filosófica- evidentemente, es cierto y no necesitan más justificaciones En la actualidad, este punto de vista ha cambiado mucho en el último siglo. En lugar de pensar en los axiomas como verdades obvias pensar en ellos como declaraciones que declarar que es verdad . Sea $\mathcal A$ sea un conjunto de axiomas. Ahora podemos hacer un montón de preguntas sobre $\mathcal A$ .

• Es $\mathcal A$ ¿es autocontradictorio? Es decir, ¿existe una prueba (<- esto necesita ser formalizado, pero en aras de la simplicidad sólo piense en su noción informal de pruebas) - a partir de fórmulas en $\mathcal A$ que lleva a una contradicción? Si ese es el caso, entonces $\mathcal A$ fue mal elegido. Si todas las declaraciones en $\mathcal A$ deben ser verdaderas (en un sentido filosófico), entonces no pueden llevar a una contradicción. Así que nuestro primer requisito es que $\mathcal A$ - en caso de que represente un conjunto de afirmaciones verdaderas- no es autocontradictoria.
• Hace $\mathcal A$ ¿probar afirmaciones interesantes? Por ejemplo $\mathcal A$ como los axiomas de la teoría de conjuntos (por ejemplo $\mathcal A = \operatorname{ZFC}$ ). En este caso podemos demostrar todo tipo de enunciados matemáticos interesantes. De hecho, parece razonable que todo teorema matemático que pueda demostrarse mediante el estilo habitual de pruebas informales, pueda demostrarse formalmente a partir de $\mathcal A$ . Esta es una de las razones por las que los axiomas de la teoría de conjuntos han tenido tanto éxito.
• Es $\mathcal A$ a natural ¿conjunto de axiomas? ...
• ...
• ¿Existe una declaración $\phi$ que $\mathcal A$ no decide? Es decir, ¿hay una declaración $\phi$ de tal manera que no hay prueba de $\phi$ o $\neg \phi$ a partir de $\mathcal A$ ?

Esto último es lo que queremos decir cuando afirmamos que $\phi$ es incomprobable a partir de $\mathcal A$ . Y si $\mathcal A$ es nuestra teoría de fondo, digamos $\mathcal A = \operatorname{ZFC}$ Sólo decimos que $\phi$ es incomprobable .

Por un teorema muy general de Kurt Gödel, cualquier natural conjunto de axiomas $\mathcal A$ tiene afirmaciones que son indemostrables a partir de ella. De hecho, la afirmación " $\mathcal A$ no es autocontradictorio" no es demostrable desde $\mathcal A$ . Así, mientras que los conjuntos naturales de axiomas $\mathcal A$ no son autocontradictorios - ellos mismos no pueden demostrar este hecho. Esto es bastante desafortunado y demuestra que el programa de David Hilbert sobre el fundamento de las matemáticas -en su forma original- es imposible. La solución natural es algo contrario a la naturaleza general de las matemáticas: un salto de fe: Si $\mathcal A$ es un conjunto de axiomas suficientemente natural (o en su defecto certificado ), nosotros creer que sea consistente (o - si eres más como yo - que asuma que es coherente hasta que vea una razón para no hacerlo).

Este es, por ejemplo, el caso de $\mathcal A = \operatorname{ZFC}$ y para el resto de mi respuesta, me limitaré a este escenario. Ahora que sabemos que $\mathcal A$ no decide todas las afirmaciones (y podría decirse que no demuestra algunas afirmaciones verdaderas, como su consistencia), surge una nueva cuestión:

• Hace $\operatorname{ZFC}$ decidir todo matemáticas ¿enunciados? En otras palabras: ¿Hay alguna pregunta sobre objetos matemáticos típicos que $\operatorname{ZFC}$ no responde?

La respuesta -para algunos desafortunada- es sí y el ejemplo más famoso es

$\operatorname{ZFC}$ no decide cuántos números reales hay.

Demostrar realmente este hecho, llevó a los matemáticos (lógicos) muchas décadas. Al final de este esfuerzo, sin embargo, no sólo tuvimos una manera de demostrar esta única afirmación, sino que realmente obtuvimos un método muy general para demostrar la independencia de muchas afirmaciones (el llamado método de forzamiento introducido por Paul Cohen en 1963).

La idea, a grandes rasgos, es la siguiente: Dejemos que $\phi$ sea una declaración, digamos

$\phi \equiv$ "no hay un infinito estrictamente entre el infinito de $\mathbb N$ y de $\mathbb R$ "

Dejemos que $\mathcal M$ sea un modelo de $\operatorname{ZFC}$ . A partir de $\mathcal M$ queremos construir nuevos modelos $\mathcal M_{\phi}$ y $\mathcal M_{\neg \phi}$ de $\operatorname{ZFC}$ tal que $\mathcal M_{\phi} \models \phi$ y $\mathcal M_{\neg \phi} \models \neg \phi$ (es decir $\phi$ es cierto en $\mathcal M_{\phi}$ y $\phi$ es falso en $\mathcal M_{\neg \phi}$ ). Si esto es posible, entonces esto demuestra que $\phi$ no se decide por $\operatorname{ZFC}$ . ¿Por qué?

Bueno, si se decidiera por $\operatorname{ZFC}$ , entonces habría una prueba de $\phi$ o una prueba de $\neg \phi$ . Digamos que $\phi$ tiene una prueba (el otro caso es el mismo). Entonces, por solidez de nuestras pruebas, cualquier modelo que satisfaga $\operatorname{ZFC}$ debe satisfacer $\phi$ , por lo que no puede haber un modelo $\mathcal M_{\neg \phi}$ como en el caso anterior.

Answer 3

Su pregunta se basa parcialmente en un error de terminología. No hablamos de teoremas indemostrables - como dices, ser un teorema implica tener una prueba. Lo correcto es hablar de declaraciones indemostrables o afirmaciones indemostrables .

Dicho esto, es posible que una afirmación sea un teorema en un contexto pero no en otro, en cuyo caso se podría decir que, en el segundo contexto, es un teorema indemostrable. Ejemplo: Todas las demostraciones del Teorema de Pitágoras se basan esencialmente en el Postulado Paralelo; por tanto, si se intenta demostrar lo que se puede en geometría omitiendo el Postulado Paralelo (lo que se llama "geometría absoluta"), entonces el Teorema de Pitágoras se convierte en un teorema indemostrable dentro de ese contexto. (esta es la única situación en la que creo que la frase "teorema indemostrable" es la opción natural)

Answer 4

Ya ha recibido algunas respuestas excelentes, pero sólo quería aclarar algunas cosas que creo que no han recibido la atención que requieren.

Por ejemplo, usted mencionó

[...] definiciones, axiomas, conjeturas, lemas y teoremas.

Es importante darse cuenta de que cuando se establece una teoría matemática, en realidad sólo hay dos cosas que importan:

1. Declaraciones que definir sea verdadera (o, por el contrario, falsa).
2. Todas las demás afirmaciones, que pueden ser verdaderas o falsas, o ninguna de ellas, requieren una prueba.

Tanto las definiciones como los axiomas son una forma del tipo 1. Están muy relacionados, ya que los axiomas suelen definir algún concepto importante y las definiciones suelen especificar que llamamos $Z$ a zork si y sólo si $Z$ tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, consideremos las afirmaciones

Todo número natural $n$ tiene un sucesor $S(n)$ .

Un número par es de la forma $2n$ para algunos $n \in \mathbb N$ .

¿Son estos definiciones de la función sucesora y de los números pares, respectivamente? ¿O son axiomas de una teoría sobre los números naturales?

Del mismo modo, la distinción entre teoremas, conjeturas, lemas, etc. es sobre todo una distinción emocional: ayudan al lector de un libro o de un artículo a distinguir entre los resultados "importantes" y las afirmaciones que son más bien herramientas y que sólo hay que demostrar para obtener un resultado interesante.

Ahora, en cuanto a lo (in)demostrable. Existen definiciones formales de prueba en la lógica matemática, pero no vamos a entrar en ellas. El punto principal es que un prueba es una secuencia lógica de pasos, empezando por el suposiciones de un teorema (o lema, o conjetura, ...), terminando con el conclusión del teorema, y donde cada paso está justificado por un axioma o por un teorema previamente demostrado:

Teorema: (Si condiciones entonces) conclusión

Nótese que la parte de las condiciones puede omitirse si la conclusión es siempre verdadera (una tautología).

La "prueba" de un axioma es entonces bastante trivial: no hay condiciones previas y el único paso de la prueba consiste en invocar el axioma.

Para muchos enunciados, normalmente podemos demostrar que son verdaderos o falsos, dado algún conjunto de axiomas (y normalmente incluimos también un conjunto de teoremas probados en los que estamos de acuerdo, por ejemplo, no se invocan los axiomas de Peano cada vez que se demuestra algo sobre un número natural). Demostrar que el teorema es falso suele implicar encontrar un contraejemplo, o -más formalmente- demostrar que el "anti "teorema

Teorema: (Si condiciones entonces) no ( conclusión )

es verdadera, de nuevo mediante una prueba en la que cada paso está bien justificado.

Así, por ejemplo, podemos demostrar que el teorema "6 es par" es verdadero de la siguiente manera:

• $6 = 2 \cdot 3$
• Así que $6 = 2 \cdot n$ para $n = 3$ .
• Esto satisface la definición de un número par (o, si has configurado las cosas de esa manera: Este es un número par por el axioma "Número par").

Del mismo modo, podemos demostrar que 7 es no incluso demostrando que no hay un número $n$ tal que $7 = 2 \cdot n$ (la única solución es $n = 3.5$ y que no es un número natural).

Sin embargo, supongamos que quiero demostrar que "el 4 es un número nortial". ¿Es ese teorema verdadero o falso en nuestra teoría simple con un axioma sobre los números pares? No importa la forma en que invoque el axioma, o cualquier teorema que pueda demostrar a partir de él, no puede demostrar que 4 es un número nortial. Sin embargo, tampoco puedes demostrar que "el 4 no es un número nortial", por lo que el teorema tampoco puede ser falso. Está claro que tu teoría no tiene suficientes axiomas para poder llegar a ninguna de las dos conclusiones. Este es lo que entendemos por "una afirmación indemostrable".

Answer 5

"Demasiado obvio" no existe en matemáticas, elegimos ponernos de acuerdo sobre algunos axiomas para construir una teoría. Los axiomas no deben implicarse entre sí y no deben ser contradictorios.

Si un teorema no puede ser demostrado ni negado por los axiomas significa que va más allá de los límites de esa teoría. Así que puedes unir ese teorema como otro axioma para construir una teoría más compleja, o puedes unir su negación como un axioma para construir otra teoría

Además, ¿cómo se puede demostrar que un teorema no está implicado ni negado por los axiomas? Eso sería algo así como que no se obtiene una contradicción al unir el teorema ni al unir su negación al conjunto de axiomas. Solo hay que pasar por todo el conjunto de objetos que usas en la teoría... :P