Demostrar que dos número distinto de la forma $a^{2^{n}} + 1$ $a^{2^{m}} + 1$ son primos relativos si $a$ es uniforme y en $gcd=2$ si $a$ es impar

Question

Demostrar que dos número distinto de la forma $a^{2^{n}} + 1$ $a^{2^{m}} + 1$ son primos relativos si a es par y ha $gcd=2$ si a es impar

Mi intento:
Si $a$ es incluso, deje $a = 2^{s}k$ para algunos enteros $k, s$
Entonces, $$a^{2^{n}} + 1 = 2^{2^{n}s}\times k^{2^n} + 1$$ and $$a^{2^{m}} + 1 = 2^{2^{m}s}\times k^{2^m} + 1$$ Para demostrar que son relativamente primos, tenemos que mostrar que su mcd = 1. Y me quedé aquí, ¿cómo podría yo demostrar que el mcd de dos números es $1$?

Una sugerencia sería suficiente. Gracias.

Answer 1

Si $x = -1 \mod p$,$x^{2^n} = 1 \mod p$.

Suponga $n \gt m$. Así que si $p$ divide $x + 1 = a^{2^m} + 1$,, $a^{2^n} + 1 = x^{2^{n-m}} + 1 = 1 + 1 = 2 \mod p$.

Answer 2

Sugerencia:

Considere la siguiente prueba al $a=2$: http://planetmath.org/encyclopedia/FermatNumbersAreCoprime.html

Intente adaptar a trabajar para todos los $a$.

Sugerencia 2: Factor De $a^{2^n}-1$.

Answer 3

SUGERENCIA $\rm\ \: (A+1,\ A^{2\:K}+1)\ =\ (A+1,\ (-1)^{2\:K}+1)\ =\ (A+1,\:2\:)\:.\:$ Puesto $\rm\ A = a^{2^{N}}\ $ (wlog $\rm\ N < M\:)\:.$

$\ $ $\rm\ \ (A+I,\ \ F(A)\ )\ \ \ =\ \ \: (A+I,\ \ F(-I)\ )\ \ $ para todos los polinomios $\rm\ F(X)\in \mathbb Z[X],\ \ A,\:I\in \mathbb Z$

$\ \ \ $ es decir $\rm\ \ \ \ \ A\ \equiv\: -I\ \ \ \Rightarrow\ \ \ F(A)\ \equiv\ F(-I)\ \ \ \ (mod\ D)\:,\ $ si $\rm\ D\ |\ A+I$

$\ \ \ $ es decir $\rm\ \ \ (B,\ C)\ =\ (B,\ C\ mod\ B)\ \ $ -- $\:$ el modular de la propiedad de GCDs.