Me pregunto si hay algunas conclusiones en cuanto a cuando una serie de soluciones utilizando la variable independiente método a un PDE existe; es decir, por lo que los requisitos en el PDE, ¿qué requisitos en las condiciones iniciales y de contorno, de modo que uno puede suponer la solución como productos de términos que implican una única variable dependiente, y, a continuación, proceder a resolver la ecuación de Fourier.
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rck
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Para empezar, la ecuación debe ser lineal (si quieres un término a término la serie de solución).
Para geométrica de ecuaciones diferenciales parciales, de separación de variables a menudo está ligada íntimamente a la de las propiedades de simetría de los subyacente (pseudo-)métrica de Riemann. Para ser más preciso, considerar la ultrahyperbolic/ola/la ecuación de Laplace $$ \Box_g \phi = 0 $$ en algunos pseudo-Riemann colector $(M,g)$. Como resulta, la separación de las variables de esta ecuación está estrechamente relacionado con la divisibilidad de la de Hamilton-Jacobi ecuaciones asociado a la línea geodésica de flujo. Para el último, es necesario tener suficiente "conservar cantidades" como el grado de libertad.
Para un $n$-dimensiones del colector, en general se necesita tener $n$ independiente cantidades conservadas. Por ejemplo, puede realizar una separación de variables en las que se $M$ es el espacio Euclidiano utilizando el sistema de coordenadas rectangulares a causa de la conservación de la energía-impulso, que da $n$ conservada cantidades escalares. Para el lineal de la ecuación de onda, también se puede realizar una separación de variables en coordenadas esféricas: para este sistema de coordenadas que necesita la conserva cantidades de energía total, angulares y de los impulsos, que se suma a que, de nuevo, $n$ cantidades conservadas.
(Para Hamilton-Jacobi tipo de ecuaciones [y de manera similar ecuaciones diferenciales ordinarias de los sistemas dinámicos] el método de separación de variables [el hallazgo de acción-ángulo de coordenadas] está bastante bien desarrollado. Probablemente, usted debe consultar libros en aquellos sujetos para los tratamientos en lo que es conocido).
Mientras que la regla de oro, como en la lista para ecuaciones geométricas, es tratar de encontrar $n$ cantidades conservadas, en la práctica, también hay casos en los que menos conservadas cantidades escalares están disponibles, sin embargo, una separación de variables puede proceder. Esto es a veces llamado "oculto simetría". Un primer ejemplo es la ecuación de onda (y geodésico de ecuaciones) en el de Kerr-Newman espacio-tiempo de la relatividad general. La geometría, sólo admite dos evidente simetrías: tiempo de traslación y rotación sobre el $z$ eje. Lo que salva el día, es el lugar misterioso "Carter tensor", que da lugar a un orden superior de la simetría.
Para más detalles en algunas de las anteriores, es posible que desee consultar este artículo y las referencias allí contenidas. (O este.)
Como en el caso de la mayoría de los hechos acerca de las ecuaciones diferenciales parciales, no hay un buen desarrollo de la uno-tamaño-caber-toda la teoría. Pero si usted busca, digamos, MathSciNet, por la frase "separación de variables", verás que es un campo de investigación activa. Una gran parte de la práctica establecida, sin embargo, se pueden resumir en la búsqueda continua de grupos de simetrías de soluciones de ecuaciones diferenciales. Un estándar de referencia en esa dirección es P. Olver las Aplicaciones de la Mentira Grupos de Ecuaciones Diferenciales.
Por último, una cosa que yo soy un poco aficionado a la de cuando se habla sobre la separación de variables es el siguiente trabajo de Eisenhart, "la Enumeración de los potenciales para que una partícula de Schrödinger ecuaciones son separables," Phys. Apo. 74, 87-89.
doraemonpaul
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Por ejemplo, el lineal homogéneo de ecuaciones en derivadas parciales con variables dependientes $u$ y las variables independientes $x$$y$ , el separables condición es que el Pde puede reescribir de la forma $\dfrac{\sum\limits_{a_1=0}^{b_1}M_{a_1}(x)X^{[a_1]}(x)}{\sum\limits_{a_2=0}^{b_2}N_{a_2}(x)X^{[a_2]}(x)}=\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}P_{a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}Q_{a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)}$ cuando dejando $u(x,y)=X(x)Y(y)$ .
Por ejemplo, los inhibidores de la PDE $x^2u_{xy}-yu_{yy}+u_x-4u=0$ mencionado en La forma canónica de una no lineal de segundo orden de la PDE es un inseparables ejemplo, mientras que el PDE $u_{xy}-yu_{yy}+u_x-4u=0$ es un separables ejemplo.
Inicio de las ecuaciones en derivadas parciales con tres variables independientes, separables condiciones son más difíciles de lo descrito, ya que por ejemplo el lineal homogéneo de ecuaciones en derivadas parciales con variables dependientes $u$ y las variables independientes $x$ , $y$ y $z$ , el Pde son separables cuando el Pde no sólo se puede reescribir de la forma $\dfrac{\sum\limits_{a_1=0}^{b_1}M_{1,a_1}(x)X^{[a_1]}(x)}{\sum\limits_{a_2=0}^{b_2}M_{2,a_2}(x)X^{[a_2]}(x)}+\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}M_{3,a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}M_{4,a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)}+\dfrac{\sum\limits_{a_5=0}^{b_5}M_{5,a_5}(z)Z^{[a_5]}(z)}{\sum\limits_{a_6=0}^{b_6}M_{6,a_6}(z)Z^{[a_6]}(z)}=0$ cuando dejando $u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ , pero también cuando el Pde puede reescribir de la forma $\dfrac{\sum\limits_{a_1=0}^{b_1}M_{1,a_1}(x)X^{[a_1]}(x)}{\sum\limits_{a_2=0}^{b_2}M_{2,a_2}(x)X^{[a_2]}(x)}+\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}M_{3,a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}M_{4,a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)}+\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}N_{3,a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)\sum\limits_{a_5=0}^{b_5}M_{5,a_5}(z)Z^{[a_5]}(z)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}N_{4,a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)\sum\limits_{a_6=0}^{b_6}M_{6,a_6}(z)Z^{[a_6]}(z)}=0$ cuando dejando $u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ .
