La formas cuadráticas sobre campos finitos

Question

Estoy leyendo algunos muy viejos papeles (Birch et al) en cuadráticas formas y no me da el siguiente punto:

Si $f$ es una forma cuadrática en $X_1,X_2,\cdots,X_n$ a través de una campo finito, entonces uno puede cambiar las variables tal que $f$ puede ser escrito como $\sum_{i = 1}^s Y_{2i > - 1}Y_{2} + g$, where $g$ es una forma cuadrática que implica las variables de distinto $Y_1,Y_2,\cdots,Y_{2s}$ , y ha pedido en la mayoría de los 2 (es decir, puede ser escrito utilizando en la mayoría de los dos lineal de las formas).

Por lo tanto este es un resultado conocido - pero no me parece una referencia - o sea que esto es fácil de ver, pero en ese caso yo soy sólo falta el punto. Por cierto, ¿es esto realmente cierto en carácter 2?

(Y, de hecho, no estoy seguro de cuál es el papel por el hecho de que el campo es finito...)

Answer 1

Voy a bosquejar por debajo de un estándar de argumento para demostrar lo que usted necesita, porque me parece muy bonita!

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre un campo $k$ y deje $q \colon V \to k$ ser una forma cuadrática en $V$. Denotar por $b$ la simétrica de la forma bilineal asociada a $q$: por lo tanto para los vectores $v,w \in V$ definir $b(v,w) := q(v+w)-q(v)-q(w)$. Supongamos que $v$ es no-singular cero de $q$. Desde $v$ es no singular, se deduce que hay un $w' \in W$ tal que $\alpha := b (v , w') \neq 0$. Deje $w := \frac{1}{\alpha^2} (\alpha w' - q(w') v)$; es inmediato comprobar que $q(w)=0$$b (v , w) = 1$. Observar que el `complemento ortogonal" de $v,w$ con respecto a la forma $q$ ha codimension dos y no contiene el lapso de $v,w$. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que podemos encontrar una base de $V$ tal que $q(x_1,\ldots,x_n) = x_1 x_2 + q'$ donde $q'$ es una forma cuadrática sobre un espacio de dimensión dos menos que la dimensión de $V$.

La declaración sobre campos finitos de la siguiente manera a la vez, ya que más de un campo finito, de cualquier forma cuadrática en tres o más variables admite que no trivial de cero. Esto es una consecuencia de la Chevalley-Advertencia Teorema. De manera más general, cualquier campo que cuadráticas formas en las tres variables siempre admite un cero tiene la propiedad que usted necesita, por ejemplo, cualquier $C_1$-campo de trabajo.

Answer 2

Permítanme intentar una explicación similar con diferentes palabras. (Tenga en cuenta que mi explicación no cubre característicos $2$.)

Una forma cuadrática es no degenerada si cualquiera de sus simétrica asociada matrices tiene determinante distinto de cero. (Alternativamente, si la asociada a la forma bilineal $B(x,y) = q(x+y) - q(x) - q(y)$ es no degenerado en el sentido habitual: $B(x,y) = 0 \ \forall y \in K \implies x = 0$.)

Deje $K$ ser un campo de características diferentes de $2$. El plano hiperbólico es la especial forma cuadrática

H(x,y) = xy.

(Al igual que con cualquier forma cuadrática $K$, puede ser diagonalized: $\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} y^2$.)

Una degenerada forma cuadrática $q(x_1,\ldots,x_n)$ es isotrópico si no existe $a_1,\ldots,a_n \in K$, no todos los $0$, de tal manera que $q(a_1,\ldots,a_n) = 0$ e lo contrario anisotrópico.

Witt Descomposición Teorema: Cualquier forma cuadrática $q$ puede ser escrita como una suma directa ortogonal de una idéntica a cero forma cuadrática, una anistropic forma cuadrática, y un cierto número de planos hiperbólicos. En particular, cualquier isotrópica forma cuadrática $q(x_1,...,x_n)$ puede ser escrito, después de un cambio lineal de variables, como $x_1 x_2 + q(x_3,...,x_n)$.

Para sus propósitos, se podría asumir su forma cuadrática es no degenerada; de lo contrario, simplemente implica más variables que en realidad se parecen!

Ahora, más de un campo finito, el Chevalley-Advertencia teorema implica que cualquier degenerada de una forma cuadrática en al menos tres variables es isotrópico, por lo que de Witt Descomposición, usted puede dividir un plano hiperbólico. Si usted todavía tiene al menos tres variables, usted puede hacer esto de nuevo. La aplicación repetida da su resultado.

Referencias:

Para Chevalley-Advertencia:

http://math.uga.edu/~pete/4400ChevalleyWarning.pdf

De Witt De Descomposición:

http://math.uga.edu/~pete/quadraticforms.pdf