¿Tienen los anillos unitales contables con un número incontable de ideales derechos distintos un número incontable de ideales derechos máximos?

Question

Supongamos que nos dan un contable anillo unital $R$ con incontablemente muchos ideales de derecho distintos. ¿Se deduce de esto que $R$ tiene un número incontable de ideales derechos máximos?

Answer 1

Dejemos que $V$ ser un $\mathbb Q$ -de dimensión contable y que $R=\mathbb Q\oplus V$ con multiplicación conmutativa tal que la inyección $\mathbb Q\to R$ es un mapa de anillos, la multiplicación entre $\mathbb Q$ y $V$ es la obvia, y $v\cdot w=0$ para todos $v$ , $w\in V$ .

Cada subespacio de $V$ es un ideal de $R$ Así que hay un número incontable de estos, sin embargo $R$ es local.

Answer 2

No.

Toma $R= \mathbb Q[X_0,X_1,...,X_n,...]/\langle X_iX_j\mid i,j\in \mathbb N\rangle=\mathbb Q[x_0,x_1,...,x_n,...]$
El único ideal maximal (¡en realidad el único ideal primo!) es $\langle x_0,x_1,...,x_n,...\rangle$ pero $R$ tiene una familia de ideales distintos indexados por los incontables subconjuntos $P\subset \mathbb N$ , a saber $$ I_P=\langle x_i\mid i\in P\rangle=\operatorname {vect}_\mathbb Q (x_i\mid i\in P)$$

Editar
No había visto la respuesta de Mariano cuando publiqué la mía unos minutos después, pero nuestros anillos son realmente isomorfos : si su $V$ tiene base $(v_i)_{i\in \mathbb N}$ en $\mathbb Q$ tenemos un isomorfismo (de $\mathbb Q$ -algebras pares)

$$ \mathbb Q\oplus V \stackrel {\cong}{\to} \mathbb Q[x_0,x_1,...,x_n,...]:(q,\sum q_iv_i)\mapsto q+\sum q_ix_i$$