Ejemplo de cociente de asignación que no está abierto

Question

Tengo la siguiente definición:

Vamos ($X$,$\mathcal{T}$) y ($X'$, $\mathcal{T'}$) ser espacios topológicos. Un surjection $q: X \longrightarrow X'$ es un cociente de asignación de si $$U'\in \mathcal{T'} \Longleftrightarrow q^{-1}\left( U'\right) \in \mathcal{T'} \quad \text{i.e. if } \mathcal{T'}=\{ U' \subset X' : q^{-1}\left( U' \right) \in \mathcal{T} \}$$

y las propiedades:

1. $q$ es un bijective cociente de asignación de $\Leftrightarrow$ $q$ es un homeomorphism
2. En general, $q$ cociente $\not \Rightarrow q$ abierto. Si $U \in \mathcal{T}, q(U)\subset X'$ es abierto si $q^{-1}\left( q\left( U \right) \right) \in \mathcal{T}$, pero no en general.

No pude encontrar un ejemplo de un cociente de asignación para que $q^{-1}\left( q\left( U \right) \right)$ no está abierto. Yo entiendo que la idea mejor si usted podría enseñarme.

Answer 1

Considere la posibilidad de $\mathbb{R}$ con el estándar de la topología. En $\mathbb{R}$, considerar la relación de equivalencia

$$x\sim y \iff (x = y \lor \{x,y\} \subset \mathbb{Z}),$$

y deje $(X',\mathcal{T}')$ el cociente del espacio de $\mathbb{R}/\sim$. Por definición, $\pi \colon \mathbb{R}\to X';\; x \mapsto [x]_\sim$ es un cociente de mapa, pero que el mapa no está abierto:

Si $U \subset\mathbb{R}$ es un conjunto abierto que contiene un entero, $\pi^{-1}(\pi(U)) = U\cup \mathbb{Z}$ es, en general, no se abre.

Answer 2

Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff, y deje $a,b$ ser un par de puntos distintos. Estipulan que $\{b\}$ no está abierto. Definir $f:X\to X\setminus\{b\}$ $f(z)=z$ si $z\ne b$$f(b)=a$. No hay una única topología, podemos asignar el codominio tal que $f$ es un cociente mapa, vamos a dotar a que la topología en $X\setminus\{b\}$.

A continuación, recoger los distintos barrios de $U\ni a,V\ni b$, y tenga en cuenta que $f^{-1}(f(U))=U\cup\{b\}$. Este conjunto no es abierto; para, si es abierto, entonces no sería un barrio de $b$--llamarlo $W$--contenido en $U\cup\{b\}$. Por eso, $\{b\}=(W\cap V)\cap(U\cup\{b\})$ es abierto, una contradicción.